Question

Решите логарифмическое неравенство: log2(2x^2 + 4) - log2(x^2 - x + 4) >= log2(2 - 1/x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного логарифмического неравенства нужно следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Упростить логарифмы с обеих сторон неравенства, используя свойства логарифмов.

Шаг 2: Преобразовать выражения, чтобы левая сторона стала одним логарифмом.

Шаг 3: Применить правило перевода логарифмического неравенства в экспоненциальную форму.

Шаг 4: Решить получившееся неравенство.

Давайте выполним эти шаги по очереди:

Шаг 1: Упрощение логарифмов

log2(2x^2 + 4) - log2(x^2 - x + 4) >= log2(2 - 1/x)

Шаг 2: Преобразование выражений

Для упрощения левой стороны объединим два логарифма в один, используя свойство логарифма: log(a) - log(b) = log(a/b).

log2((2x^2 + 4)/(x^2 - x + 4)) >= log2(2 - 1/x)

Шаг 3: Перевод в экспоненциальную форму

Если log2(a) >= log2(b), то a >= b.

Следовательно:

(2x^2 + 4)/(x^2 - x + 4) >= 2 - 1/x

Шаг 4: Решение неравенства

Для удобства, домножим обе стороны неравенства на x(x^2 - x + 4), предполагая, что x ≠ 0, так как логарифм от нуля не определен.

x(x^2 - x + 4)(2x^2 + 4) >= x(x^2 - x + 4)(2 - 1/x)

Теперь упростим обе стороны:

2x^3 - 2x^2 + 8x >= 2x^3 - x^2 + 8x - 4

После сокращения:

-x^2 >= -4

Избавимся от отрицательного коэффициента у x^2, поменяв неравенство на противоположное:

x^2 <= 4

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон (учтем, что x^2 всегда неотрицательно):

|x| <= 2

Таким образом, решением данного логарифмического неравенства являются все значения x, для которых |x| не превышает 2. Это можно записать как:

-2 <= x <= 2

Таким образом, множество решений данного логарифмического неравенства - это интервал [-2, 2].