Question

Коля и Оля брали по очереди конфеты из пакета. Коля взял одну, Оля - 2, Коля - 3 и так далее. Когда в пакете осталось конфет меньше, чем необходимо очередному берущему, этот очередной берущий забрал все остатки. Сколько конфет было в пакете изначально, если Коля взял всего 65 конфет? Ответ - ОДНО ЧИСЛО!

Answer 1

Ответ:

137 конфет

Пошаговое объяснение:

Полезный факт: сумма $n$ первых нечетных чисел равна $n^2$ (один из способов понять это: $n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1$ – n-е нечётное число)

Поскольку число конфет Коли – не квадрат, значит, он и забрал остаток конфет. Наименьший квадрат, который не превосходит 65, это $8^2=64$, так что Коля взял 8 раз полный набор конфет и после этого оставшиеся конфеты.

Тогда Оля брала конфеты 8 раз, и её доля

$2+4+\dots+16=(2+16)+(4+14)+(6+12)+(8+10)=18\cdot4=72$

Всего в пакете было 65 + 72 = 137 конфет

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте предположим, что в пакете изначально было N конфет.

Коля взял 1 конфету, Оля взяла 2, Коля взял 3, Оля взяла 4, и так далее, пока не осталось меньше, чем 5 конфет.

Мы знаем, что Коля взял всего 65 конфет. Это значит, что Коля взял N + (N-2) + (N-4) + ... конфет, пока не осталось меньше, чем 5 конфет.

Теперь давайте выразим это алгебраически:

Коля взял конфеты до тех пор, пока не осталось меньше 5 конфет: N + (N-2) + (N-4) + ... + M = 65

где M - остаток, меньший 5.

Для нахождения ответа, мы можем заметить, что каждое следующее число в последовательности уменьшается на 2:

N, N-2, N-4, ...

Теперь предположим, что у нас было K таких чисел в последовательности, тогда:

K * 2 = N - M

Также, мы знаем, что Коля взял N + (N-2) + (N-4) + ... + M конфет, это можно записать как:

N + (N-2) + (N-4) + ... + M = N * K + 2 * (1 + 2 + 3 + ... + K) = N * K + 2 * (K * (K + 1) / 2)

Теперь подставим это обратно в уравнение, которое связывает K с N и M:

N * K + 2 * (K * (K + 1) / 2) = 65

Упростим:

N * K + K * (K + 1) = 65

K * (N + K + 1) = 65

Теперь, у нас есть всего несколько возможных комбинаций чисел, которые удовлетворяют этому уравнению:

1 * (N + 1) = 65 65 + 1 = 66 (Неподходящий вариант, так как K должно быть больше 1)

5 * (N + 5) = 65 5N + 25 = 65 5N = 40 N = 8

Таким образом, изначально в пакете было 8 конфет.