Question

Определить действительную и мнимую часть функции f(z)=sin(1-z)

Answer 1

Воспользуемся следующими формулами:

$z=x+iy\\ \\ sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb\\ \\ sin(iz)=ish z \\ \\ cos(iz)=chz$

Комплексную функцию можно представить в виде:

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

где u(x,y) - действительная часть, v(x,y)- мнимая часть

Решение:

$f(z)=sin(1-z)=sin[1-(x+iy)]=sin(1-x-iy)=sin[(1-x)-iy] \\ =sin(1-x)*cos(iy)-cos(1-x)*sin(iy)=sin(1-x)chy-\\ -icos(1-x)shy\\ \\ \\ OTBET: \ u(x,y)=sin(1-x)chy; \ \ v(x,y)=-cos(1-x)shy$

Answer 2

Для определения действительной и мнимой части функции f(z) = sin(1 - z), мы должны заменить переменную z на комплексное число x + yi, где x - действительная часть, y - мнимая часть, и далее разложить функцию на действительную и мнимую части.

Пусть z = x + yi. Тогда:

f(z) = sin(1 - z) = sin(1 - (x + yi))

Мы знаем, что sin(-θ) = -sin(θ), поэтому:

sin(1 - (x + yi)) = sin(1 - x - yi)

Теперь применим формулу синуса суммы:

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

В данном случае, A = 1, B = x + yi:

sin(1 - x - yi) = sin(1)cos(x + yi) - cos(1)sin(x + yi)

Теперь используем формулы синуса и косинуса комплексного числа:

sin(x + yi) = sin(x) * cosh(y) + i * cos(x) * sinh(y) cos(x + yi) = cos(x) * cosh(y) - i * sin(x) * sinh(y)

Где sinh(y) = (e^y - e^(-y)) / 2 и cosh(y) = (e^y + e^(-y)) / 2.

Подставляем эти значения в предыдущее выражение:

sin(1 - x - yi) = sin(1) * (cos(x) * cosh(y) - i * sin(x) * sinh(y)) - cos(1) * (sin(x) * cosh(y) + i * cos(x) * sinh(y))

Теперь разделяем действительную и мнимую части:

Действительная часть f(z) = Re[f(z)]:

Re[f(z)] = sin(1) * (cos(x) * cosh(y)) - cos(1) * (sin(x) * cosh(y)) = sin(1) * cos(x) * cosh(y) - cos(1) * sin(x) * cosh(y)

Мнимая часть f(z) = Im[f(z)]:

Im[f(z)] = - sin(1) * (sin(x) * sinh(y)) - cos(1) * (cos(x) * sinh(y)) = - sin(1) * sin(x) * sinh(y) - cos(1) * cos(x) * sinh(y)

Итак, действительная часть функции f(z) = sin(1-z) равна sin(1) * cos(x) * cosh(y) - cos(1) * sin(x) * cosh(y), а мнимая часть равна - sin(1) * sin(x) * sinh(y) - cos(1) * cos(x) * sinh(y).