Question

Найти действительную и мнимую часть функции w=z^i

Answer 1

Ответ:

$w = \cos \ln z + i \sin \ln z$

Пошаговое объяснение:

$w = z ^ i\\\ln w = i \ln z\\e ^ {\ln w} = e^{i \ln z} = [ \phi = \ln z] = \cos \ln z + i \sin \ln z$, по формуле Эйлера

Answer 2

Для того чтобы найти действительную и мнимую часть функции w=z^i, нужно сначала записать z в тригонометрической форме. Представим z в виде z = re^(iθ), где r - модуль z, θ - аргумент z.

Затем воспользуемся формулой Эйлера: e^(iφ) = cos(φ) + isin(φ). Применяя эту формулу к z^i, получаем:

z^i = (re^(iθ))^i = r^i * e^(iiθ) = r^i * e^(-θ) = cos(-θ)r^i + isin(-θ)*r^i

Так как cos(-θ) = cos(θ) и sin(-θ) = -sin(θ), то:

z^i = r^i * (cos(θ) - i*sin(θ))

Теперь можно выделить действительную и мнимую часть функции w:

Re(w) = r^i * cos(θ)

Im(w) = -r^i * sin(θ)

Таким образом, действительная часть функции w равна r^i * cos(θ), а мнимая часть функции w равна -r^i * sin(θ).