Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=1/2x^2+1x и у=-1х^2+4х

Answer 1

Ответ:2

Пошаговое объяснение:

1) найдем границы фигуры, для чего приравняем эти: 1/2x^2+1x = -1х^2+4х; 1,5x^2 - 3x = 0; x1 = 0, x2 = 2

2) найдем площадь - это интеграл от 0 до 2 разности этих функций: $\int\limits^2_0 {(-1,5 x^{2}+3x)} \, dx =-1,5\frac{x^{3} }{3} +\frac{3}{2}x^{2} |^{2} _{0} =-1,5\frac{8}{3} +\frac{3}{2} 4 = 2$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность между ними.

Для начала найдем точки пересечения кривых y = (1/2)x^2 + x и y = -x^2 + 4x. Чтобы найти эти точки, приравняем уравнения и решим уравнение для x:

(1/2)x^2 + x = -x^2 + 4x

Перенесем все термины в одну часть уравнения:

(1/2)x^2 + x + x^2 - 4x = 0

Приведем подобные слагаемые:

(1/2)x^2 + x^2 + x - 4x = 0

(3/2)x^2 - 3x = 0

Теперь вынесем общий множитель:

(3/2)x(x - 3) = 0

Таким образом, у нас две точки пересечения: x = 0 и x = 3.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждой кривой:

Для y = (1/2)x^2 + x:

При x = 0: y = (1/2)(0)^2 + 0 = 0 При x = 3: y = (1/2)(3)^2 + 3 = 4.5

Для y = -x^2 + 4x:

При x = 0: y = -(0)^2 + 4(0) = 0 При x = 3: y = -(3)^2 + 4(3) = 3

Таким образом, точки пересечения кривых - это (0, 0) и (3, 4.5), и мы можем построить график, чтобы визуализировать эту область:

scssCopy code
    (3, 4.5)      ___
              \  |  /
               \ | /
                \|/
    (0, 0) ------+------  

Теперь вычислим площадь этой фигуры между двумя кривыми с помощью интеграла:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx

где a и b - это значения x в точках пересечения, то есть a = 0 и b = 3.

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

Площадь = ∫[0, 3] ((1/2)x^2 + x) - (-x^2 + 4x) dx

Выполним интегрирование:

Площадь = ∫[0, 3] ((1/2)x^2 + x + x^2 - 4x) dx

Площадь = ∫[0, 3] ((3/2)x^2 - 3x) dx

Площадь = (1/2)(3/2)x^3 - 3(1/2)x^2 |[0, 3]

Площадь = (1/2)(3/2)(3)^3 - 3(1/2)(3)^2 - ((1/2)(3/2)(0)^3 - 3(1/2)(0)^2)

Площадь = (9/2)(27) - (9/2)(9)

Площадь = (9/2)(18) = 81

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = (1/2)x^2 + x и y = -x^2 + 4x, равна 81 квадратных единиц.