Question

ПРОШУ РЕШИТЬ. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1/4 x^2, y=3x-1/2 x^2

Answer 1

Ответ:32

Смотри решение на фото

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и затем интегрировать разность этих функций по x в пределах этих точек.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения:

y = (1/4)x^2 y = 3x - (1/2)x^2

Поскольку обе функции равны y, приравняем их друг к другу:

(1/4)x^2 = 3x - (1/2)x^2

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

(1/4)x^2 + (1/2)x^2 - 3x = 0

Теперь объединим слагаемые с x^2:

(1/4 + 1/2)x^2 - 3x = 0

(3/4)x^2 - 3x = 0

Теперь факторизуем уравнение, вынесем общий множитель:

(3/4)x(x - 4) = 0

Таким образом, получаем два значения x:

x = 0 или x - 4 = 0

1. x = 0
2. x = 4

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив x в любое из уравнений:

1. x = 0: y = (1/4)(0)^2 = 0

2. x = 4: y = (1/4)(4)^2 = 4

Таким образом, точки пересечения этих двух кривых: (0, 0) и (4, 4).

Теперь можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми. Для этого необходимо вычислить определенный интеграл разности этих функций в пределах x от 0 до 4:

Площадь = ∫[0, 4] (3x - (1/2)x^2 - (1/4)x^2) dx

Площадь = ∫[0, 4] (3x - (3/4)x^2) dx

Теперь возьмем интеграл каждого слагаемого:

Площадь = [ (3/2)x^2 - (1/4)x^3 ) ] от 0 до 4

Теперь подставим верхний и нижний пределы интеграла:

Площадь = [(3/2)(4)^2 - (1/4)(4)^3] - [(3/2)(0)^2 - (1/4)(0)^3]

Площадь = [(3/2)(16) - (1/4)(64)] - [(3/2)(0) - (1/4)(0)]

Площадь = [24 - 16] - [0 - 0]

Площадь = 8

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, равна 8 квадратных единиц.