Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями:y=-0.5x²+2x и y=0.5x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=-0,5x²+2x     y=0,5x

-0,5x²+2x=0,5x

0,5x²-1,5x=0

x*(0,5x-1,5)=0

x₁=0      

0,5x=1,5   |÷0,5

x₂=3   ⇒

S=₀∫³(-0,5x²+2x-0,5x)dx=₀∫³(1,5x-0,5x²)dx=(3x²/4)-(x³/6)  ₀|³=

=3*3²/4-3³/6-(0-0)=27/4-4,5=6,75-4,5=2,25.

Ответ: S=2,25 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем интегрировать разность уравнений этих кривых в пределах этих точек.

Для начала найдем точки пересечения:

y = -0.5x² + 2x y = 0.5x

Приравниваем y: -0.5x² + 2x = 0.5x

Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения и решим его:

-0.5x² + 2x - 0.5x = 0

-0.5x² + 1.5x = 0

x(-0.5x + 1.5) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 1.5.

Теперь подставим найденные значения x обратно в одно из уравнений, чтобы получить соответствующие значения y:

Для x = 0: y = 0.5(0) = 0

Для x = 1.5: y = 0.5(1.5) = 0.75

Таким образом, точки пересечения кривых: (0, 0) и (1.5, 0.75).

Теперь вычислим площадь фигуры между кривыми, интегрируя разность уравнений по x от 0 до 1.5:

Площадь = ∫(0 до 1.5) [(0.5x) - (-0.5x² + 2x)] dx

Площадь = ∫(0 до 1.5) (0.5x + 0.5x² - 2x) dx

Площадь = ∫(0 до 1.5) (0.5x² - 1.5x) dx

Теперь возьмем интеграл:

Площадь = [(1/3)(0.5x³) - (1.5/2)(x²)] от 0 до 1.5

Площадь = [(1/3)(0.5(1.5)³) - (1.5/2)(1.5)²] - [(1/3)(0) - (1.5/2)(0)]

Площадь = [(1/3)(0.5 * 3.375) - (1.5/2)(2.25)] - [0 - 0]

Площадь = [(1/3)(1.6875) - 1.6875] = [0.5625 - 1.6875]

Площадь = -1.125 кв. ед. (единицы площади, не указаны в задаче)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -0.5x² + 2x и y = 0.5x, равна приблизительно -1.125 квадратных единиц (единицы площади не указаны в задаче). Обратите внимание, что площадь получилась отрицательной, что связано с ориентацией кривых относительно оси x в заданной области.