Question

Вычислить интеграл с подробным решением:знак интеграла(sin^3 *x dx)

Answer 1

Ответ:

$\int {sin^3x} \, dx =\int {sin^2x*sinx} \, dx =-\int {sin^2x} \, d(cosx)=\\\\-\int{1-cos^2x} \, d(cosx) = -\int {1}\, d(cosx)+\int {cos^2x} \, d(cosx)=\\\\=\int {sinx} \, dx +\dfrac{cos^3x}{3} =-cosx+\dfrac{cos^3x}{3}+C$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫sin^3(x) dx сначала воспользуемся формулой приведения для возведения sin^3(x) в степень:

sin^3(x) = (1 - cos^2(x)) * sin(x).

Теперь интегрируем это выражение:

∫sin^3(x) dx = ∫(1 - cos^2(x)) * sin(x) dx.

Для интегрирования этого выражения мы можем провести замену переменной, чтобы сделать интеграл более простым:

Пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx.

Теперь наш интеграл примет вид:

∫(1 - cos^2(x)) * sin(x) dx = ∫(1 - u^2) du.

Интегрируем простой интеграл ∫(1 - u^2) du:

∫(1 - u^2) du = u - (u^3 / 3) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к исходной переменной:

u = cos(x),

∫sin^3(x) dx = cos(x) - (cos^3(x) / 3) + C.

Это и есть окончательное решение интеграла. Знак интеграла определен тем, что интеграл от sin^3(x) dx равен cos(x) - (cos^3(x) / 3) плюс произвольную постоянную C.