Question

У=х^2-1 и у=х+1 найти площадь фигуры ограниченной линиями ​

Answer 1

Найдем точки пересечения прямой у=х+1 и параболы у=х²-1

х²-1=х+1; х²-х-2=0; по  теореме, обратной теореме Виета, х₁=2; х₂=-1-это пределы интегрирования.

Найдем теперь площадь, отыскав определенный интеграл от минус единицы  до двух от функции (х+1-х²+1)дх=в пределах от минус один до двух ∫(х-х²+2)дх= х²/2-х³/3+2х

Вычислен по формуле Ньютона - Лейбница. От верхнего предела отнимем нижний. Получим    2 -8/3+4-1/2+1/3+2=5 целых 1/6/ед. кв./

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями двух функций, нужно определить точки их пересечения и интегрировать разность этих функций между этими точками.

В данном случае, функции заданы как:

1. y = x^2 - 1
2. y = x + 1

Для определения точек пересечения решим уравнение, приравнивая y друг к другу: x^2 - 1 = x + 1

Приведем уравнение к стандартному виду: x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что оно факторизуется: (x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими двумя функциями, возьмем интеграл от разности этих функций на интервале [-1, 2]:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (x^2 - 1) - (x + 1) dx

Раскладываем интеграл на два отдельных интеграла:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (x^2 - x - 2) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [x^3/3 - x^2/2 - 2x] от -1 до 2

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(2)^3/3 - (2)^2/2 - 2(2)] - [(-1)^3/3 - (-1)^2/2 - 2(-1)]

Площадь = [8/3 - 4 - 4] - [-1/3 - 1 + 2]

Площадь = [8/3 - 8] - [-1/3 + 1]

Площадь = -8/3 + 8 + 1/3 - 1

Площадь = 8/3 - 1

Площадь = 5/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 1 и y = x + 1, составляет 5/3 (пять третьих) квадратных единиц.