Question

Вычислить производную: (tg^3 (3x^2+5))^(1/(x+1)).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления производной данной функции, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Пусть у нас есть функция y = (tg^3(3x^2+5))^(1/(x+1)).

Обозначим внешнюю функцию как u = v^(1/(x+1)), где v = tg^3(3x^2+5).

Теперь, чтобы найти производную функции y, нужно найти производную u по x и умножить ее на производную v по x:

dy/dx = du/dx * dv/dx.

1. Найдем производную v по x: dv/dx = d/dx (tg^3(3x^2+5)).

Для вычисления этой производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: d/dx (u^3) = 3u^2 * du/dx.

Где u = tg(3x^2 + 5), поэтому du/dx = d/dx (tg(3x^2 + 5)).

Снова используем правило дифференцирования сложной функции: d/dx (tg(u)) = sec^2(u) * du/dx.

Подставим u = 3x^2 + 5: du/dx = d/dx (tg(3x^2 + 5)) = sec^2(3x^2 + 5) * d/dx (3x^2 + 5).

d/dx (3x^2 + 5) = 6x.

Таким образом, dv/dx = 3(tg^2(3x^2 + 5)) * 6x = 18x(tg^2(3x^2 + 5)).

2. Теперь найдем производную u по x: u = v^(1/(x+1)).

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: du/dx = (1/(x+1)) * v^((1/(x+1))-1) * dv/dx.

Мы уже вычислили dv/dx, поэтому можем подставить его: du/dx = (1/(x+1)) * (tg^3(3x^2+5))^((1/(x+1))-1) * 18x(tg^2(3x^2 + 5)).

3. Теперь, когда у нас есть dv/dx и du/dx, можем найти dy/dx: dy/dx = du/dx * dv/dx.

dy/dx = 18x(tg^2(3x^2 + 5)) * (1/(x+1)) * (tg^3(3x^2+5))^((1/(x+1))-1).

Таким образом, производная функции y равна:

dy/dx = 18x(tg^2(3x^2 + 5)) * (1/(x+1)) * (tg^3(3x^2+5))^((1/(x+1))-1).