Question

Решить уравнение с разделяющимися переменными y'=cos(y-x) с подробным решением, пожалуйста

Answer 1

Ответ: y=x+2*arcctg(x+C).

Пошаговое объяснение:

Пусть y-x=z, тогда y=z+x и y'=z'+1. После этого данное уравнение перепишется в виде z'+1=cos(z), или dz/dx=cos(z)-1. Разделяя переменные, приходим к уравнению dz/[cos(z)-1]=dx. Так как cos(z)=cos²(z/2)-sin²(z/2), а 1=cos²(z/2)+sin²(z/2), то cos(z)-1=-2*sin²(z/2), поэтому данное уравнение перепишется в виде -1/2*dz/sin²(z/2)=dx, или -d(z/2)/sin²(z/2)=dx. Интегрируя, находим: -∫d(z/2)/sin²(z/2)=∫dx, или -[-ctg(z/2)]=x+C, или ctg(z/2)=x+C. Отсюда z/2=arcctg(x+C), z=y-x=2*arcctg(x+C), y=x+2*arcctg(x+C).

Answer 2

Для решения данного уравнения с разделяющимися переменными y' = cos(y - x), мы будем использовать метод разделения переменных, который заключается в разделении всех y- и x-зависимых частей уравнения и последующем интегрировании обеих сторон. Вот подробное решение:

1. Исходное уравнение: y' = cos(y - x)

2. Разделим переменные: dy/dx = cos(y - x)

3. Переместим все y-зависимые части влево, а x-зависимые вправо: 1/cos(y) dy = dx

4. Проинтегрируем обе стороны уравнения: ∫(1/cos(y)) dy = ∫dx

5. Выполним интегрирование: Заметим, что левая сторона содержит 1/cos(y), что равносильно sec(y). Интеграл sec(y) можно рассчитать, заменив sec(y) на его интегральную форму - ln|sec(y) + tan(y)| + C1, где С1 - произвольная постоянная интегрирования. Интеграл dx равен x + C2, где С2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

   Таким образом, получим: ln|sec(y) + tan(y)| + C1 = x + C2

6. Объединим произвольные постоянные в одну постоянную С: ln|sec(y) + tan(y)| = x + С

7. Избавимся от логарифма, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения: |sec(y) + tan(y)| = e^(x + С)

8. Избавимся от модуля, рассмотрев два случая: а) sec(y) + tan(y) = e^(x + С) б) sec(y) + tan(y) = -e^(x + С)

9. Решим каждое уравнение относительно y.

а) sec(y) + tan(y) = e^(x + С): Это уравнение нелинейно, но мы можем решить его графически или численно. Здесь я предоставлю численное решение, используя численные методы:

Пусть z = y - x. Тогда: sec(y) + tan(y) = e^(x + С) sec(z + x) + tan(z + x) = e^(x + С)

Пусть u = z + x. Тогда: sec(u) + tan(u) = e^(x + С)

Теперь мы можем численно решить это уравнение, например, методом Ньютона или методом дихотомии, чтобы найти значения u (и соответственно z и y) в зависимости от x.

б) sec(y) + tan(y) = -e^(x + С): Это уравнение не имеет реальных решений. Это можно показать, рассматривая значения sec(y) и tan(y), которые всегда положительны или ноль. Следовательно, сумма sec(y) и tan(y) не может быть отрицательной.

Итак, это наше подробное решение уравнения y' = cos(y - x). Пожалуйста, обратите внимание, что аналитическое решение для y может быть сложным, и некоторые уравнения могут потребовать численных методов для получения численных результатов.