Question

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. А) xy'-y=0 Б)yy'+x=0 2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. tg(x)*y'=1+y если x=П/6; y=-1/2 3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. yy'=2y-x

Answer 1

$xy'=y=>\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}=>lny=lnCx=>y=Cx$

$yy'=-x=>2ydy=-2xdx=>y^2=C-x^2=>y=\pm \sqrt{C-x^2}$

$tgx*y'=1+y=>\dfrac{dy}{y+1}=\dfrac{cosxdx}{sinx}=>ln(y+1)=\int \dfrac{d(sinx)}{sinx}}=>ln(y+1)=ln(Csinx)=>y=Csinx-1\\ y(\dfrac{\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}=>-\dfrac{1}{2}=Csin\dfrac{\pi}{6}-1=>\dfrac{1}{2}=C\dfrac{1}{2}=>C=1=>y=sinx-1$

$yy'=2y-x\\ \left[y=x*u(x)=>y'=\\ u+xu'\right]\\ xu(u+xu')=2xu-x\\ xu'=2-\dfrac{1}{u}-u\\ \int\dfrac{-udu}{(u-1)^2}=\int\dfrac{dx}{x}\\ -\int\dfrac{((u-1)+1)du}{(u-1)^2}=lnCx\\ \int\dfrac{du}{(u-1)}+\int\dfrac{du}{(u-1)^2}=-lnCx\\ ln(u-1)-\dfrac{1}{u-1}=-lnCx\\ ln(\dfrac{y}{x}-1)-\dfrac{x}{y-x}=-lnCx$

Answer 2

Для решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, часто используется метод разделения переменных, который позволяет свести уравнение к виду, когда все переменные, относящиеся к одной из функций, находятся на одной стороне уравнения, а другая функция с другими переменными - на другой стороне. Затем производится интегрирование с обеих сторон уравнения для нахождения общего решения.

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

А) xy' - y = 0

1. Перепишем уравнение, выделив y' на одну сторону: xy' = y

2. Разделим обе стороны на y и dx: (1/y) dy = (1/x) dx

3. Проинтегрируем обе стороны: ∫(1/y) dy = ∫(1/x) dx

4. Получим: ln|y| = ln|x| + C, где C - константа интегрирования.

5. Решим уравнение относительно y: |y| = e^(ln|x| + C)

6. Учитывая, что |y| = y или -y (y не может быть равно 0, так как в этом случае уравнение не имеет смысла), получим два общих решения: y = ±(e^C) * |x|

Б) yy' + x = 0

1. Перепишем уравнение, выделив y' на одну сторону: yy' = -x

2. Разделим обе стороны на y и dx: (1/y) dy = (-1/x) dx

3. Проинтегрируем обе стороны: ∫(1/y) dy = ∫(-1/x) dx

4. Получим: ln|y| = -ln|x| + C, где C - константа интегрирования.

5. Решим уравнение относительно y: |y| = e^(-ln|x| + C)

6. Учитывая, что |y| = y или -y, получим два общих решения: y = ±(e^C) / |x|

Теперь перейдем ко второму заданию:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными tg(x)*y' = 1 + y при x = π/6 и y = -1/2.

Для нахождения частного решения нужно подставить заданные значения x и y в уравнение и решить его:

tg(x) * y' = 1 + y

При x = π/6 и y = -1/2: tg(π/6) * y' = 1 - 1/2

tg(π/6) = √3/3 (тангенс π/6 равен квадратному корню из 3, деленному на 3)

Теперь найдем y':

√3/3 * y' = 1 - 1/2 y' = (1 - 1/2) * (3/√3) y' = (1/2) * (3/√3) y' = 3/(2√3)

Теперь проинтегрируем выражение для y':

∫dy = ∫(3/(2√3)) dx y = (3/(2√3)) * x + C, где C - константа интегрирования.

Теперь используем условие x = π/6 и y = -1/2, чтобы найти значение константы C:

-1/2 = (3/(2√3)) * (π/6) + C

-1/2 = (3π)/(12√3) + C

C = -1/2 - (3π)/(12√3)

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения при x = π/6 и y = -1/2:

y = (3/(2√3)) * x - 1/2 - (3π)/(12√3)