Question

(68 балов) Если sin (theta) = x/3, то чему равен sin (4 theta) ?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Siny=x/3

Sin4y=2sin2ycos2y=

=4sinycosy(1-2sin^2(y)=

=(+-)4siny(sqrt(1-sin^2(y))(1-sin^2(y))=

=(+-)(4/3)x(sqrt(1-(x^2/9)))(1-(2/9)x^2)

Знак полученного выражения зависит от знака cos(x/3)

Answer 2

Ответ:

$sin4\theta=(+/-)\frac{4}{81}*x*\sqrt{9-x^2}*(9-2x^2)$

Пошаговое объяснение:

$sin \theta=\frac{x}{3} \\ sin4\theta=2*sin2\theta*cos2\theta=2*(2*sin\theta*cos\theta)*(1-2*sin^2\theta)=4*sin\theta*(+/-)\sqrt{1-sin^2\theta}*(1-2*sin^2\theta)=(+/-)4*\frac{x}{3}*\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}*(1-2*(\frac{x}{3})^2)=(+/-)\frac{4*x*\sqrt{9-x^2}}{9}*\frac{9-2x^2}{9} =(+/-)\frac{4}{81}*x*\sqrt{9-x^2}*(9-2x^2)$

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими тождествами и формулами двойного угла.

Известно, что $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$

Теперь, чтобы найти $\sin(4\theta)$, воспользуемся формулой двойного угла для $\sin(2\theta)$: $\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)$

Мы также знаем, что $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$

Таким образом, чтобы выразить $\sin(4\theta)$ через $\sin(\theta)$, нам необходимо найти $\cos(\theta)$.

Мы знаем, что $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$, поэтому можем выразить $\cos(\theta)$: $\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)}$

Теперь, у нас есть все необходимые формулы для решения задачи.

Исходно дано: $\sin(\theta) = \frac{x}{3}$.

1. Найдем $\cos(\theta)$: $\cos(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}$

2. Теперь найдем $\sin(2\theta)$: $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 2\left(\frac{x}{3}\right)\left(\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}\right) = \frac{2x\sqrt{9 - x^2}}{9}$

3. Наконец, найдем $\sin(4\theta)$: $\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) = 2\left(\frac{2x\sqrt{9 - x^2}}{9}\right)\left(1 - 2\left(\frac{x}{3}\right)^2\right) = \frac{4x\sqrt{9 - x^2}}{9} \left(1 - \frac{4x^2}{9}\right) = \frac{4x\sqrt{9 - x^2}}{9} \left(\frac{9 - 4x^2}{9}\right) = \frac{4x(9 - 4x^2)}{9^2} \sqrt{9 - x^2} = \frac{4x(9 - 4x^2)}{81} \sqrt{9 - x^2}$

Таким образом, $\sin(4\theta) = \frac{4x(9 - 4x^2)}{81} \sqrt{9 - x^2}$