Question

Помогите с интегралами оч надо 7/(5x-3)^2 dx 1/(корень из ((2x-7)^2)-8) dx

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

integral 7/(5 x - 3)^2 dx

= 7 integral 1/(5 x - 3)^2 dx

=  7/5 integral1/u^2 du  где  u = 5 x - 3 и  du = 5 dx

= -7/(5 u) + С

= 7/(15 - 25 x) + С

integral 1/(sqrt((2 x - 7)^2) - 8) dx

= 1/2 integral1/(sqrt(u^2) - 8) du  где  u = 2 x - 7 and du = 2 dx

= 1/2 integral1/s ds   где s = sqrt(u^2) - 8 and ds = u/sqrt(u^2) du

= log(s)/2 + С

= 1/2 log(sqrt(u^2) - 8) + С

= 1/2 log(sqrt((2 x - 7)^2) - 8) + С

= (sqrt((2 x - 7)^2) log(sqrt((2 x - 7)^2) - 8))/(4 x - 14) + С

Answer 3

Давайте рассмотрим каждый интеграл по отдельности:

1. ∫(7/(5x-3)^2) dx

Чтобы интегрировать данное выражение, выполним замену переменной. Пусть u = 5x - 3, тогда du = 5 dx. Получим следующий интеграл:

∫(7/u^2) du

Теперь проинтегрируем:

∫(7/u^2) du = 7 ∫(1/u^2) du = 7 * (-1/u) + C = -7/(5x-3) + C

Где C - произвольная постоянная.

2. ∫(1/√((2x-7)^2 - 8)) dx

Заметим, что здесь под корнем у нас находится квадратный трехчлен (2x-7)^2 - 8. Чтобы упростить выражение под знаком корня, давайте заведем новую замену. Пусть t = 2x - 7, тогда dt = 2 dx.

Таким образом, интеграл примет вид:

∫(1/√(t^2 - 8)) * (1/2) dt

Теперь используем тригонометрическую замену. Пусть t = √8sec(θ), тогда dt = √8sec(θ)tan(θ) dθ.

Подставим новые переменные:

∫(1/√(t^2 - 8)) * (1/2) dt = ∫(1/√(8sec^2(θ) - 8)) * (1/2) * √8sec(θ)tan(θ) dθ

Упростим выражение под знаком корня:

√(8sec^2(θ) - 8) = √8 * √(sec^2(θ) - 1) = √8 * √(tan^2(θ)) = √8 * |tan(θ)| = √8 * tan(θ)

Подставим обратно в интеграл:

∫(1/√(t^2 - 8)) * (1/2) dt = ∫(1/(√8 * tan(θ))) * (1/2) * √8sec(θ)tan(θ) dθ

Упростим и сократим на √8 и 1/2:

∫(1/√(t^2 - 8)) * (1/2) dt = ∫(1/tan(θ)) dθ = ∫cot(θ) dθ

Теперь проинтегрируем функцию cot(θ):

∫cot(θ) dθ = ln|sin(θ)| + C

Где C - произвольная постоянная.

Вспомним, что наша замена была t = 2x - 7:

∫(1/√((2x-7)^2 - 8)) dx = ln|sin(θ)| + C

Теперь нужно выразить θ через x. Для этого воспользуемся тригонометрической подстановкой:

t = √8sec(θ) 2x - 7 = √8sec(θ) sec(θ) = (2x - 7) / √8

Теперь найдем значение sin(θ):

sin(θ) = √(1 - sec^2(θ)) = √(1 - (2x - 7)^2 / 8)

Таким образом, окончательный ответ:

∫(1/√((2x-7)^2 - 8)) dx = ln|√(1 - (2x - 7)^2 / 8)| + C

Где C - произвольная постоянная.