Question

Найдите все такие тройки (a; b; c) натуральных чисел, что сумма чисел, обратных к числам a, a + b и a + b + c, равна 1.

Answer 1

Ответ:

( 2 ; 1 ; 3 )

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти все тройки (a; b; c) натуральных чисел, для которых сумма чисел, обратных к числам a, a + b и a + b + c, равна 1, мы можем рассмотреть все возможные значения для переменных a, b и c и проверить условие.

Предположим, что a, b и c - натуральные числа.

По условию задачи, мы имеем следующее: 1/a + 1/(a+b) + 1/(a+b+c) = 1

Упростим это выражение, найдя общий знаменатель: (a+b+c)(a+b) + a(a+b+c) + a(a+b) = a(a+b)(a+b+c)

Раскроем скобки: (a^2 + 2ab + b^2 + ac + bc) + (a^2 + ab + ac + bc) + (a^2 + ab) = a^2(a+b) + ab(a+b) + abc

Упростим: 3a^2 + 3ab + b^2 + 2ac + 2bc = a^3 + a^2b + ab^2 + abc

Перенесем все члены в левую часть уравнения: a^3 - 2a^2 - 2ab - b^2 + ac + 2bc - abc = 0

Теперь мы имеем кубическое уравнение относительно переменной a. Оно может быть решено численными методами, но здесь мы рассмотрим только некоторые простые случаи, которые приведут к натуральным решениям.

1. Если a = 1: Уравнение становится: 1 - 2 - 2b - b^2 + c + 2c - bc = 0

• b^2 - 2b + 3c - bc - 1 = 0

Мы можем приступить к решению этого квадратного уравнения относительно переменной b. Подставив возможные значения для c (натуральные числа) и найдя соответствующие значения b, мы можем найти тройки (a; b; c).

2. Если a = 2: Уравнение становится: 8 - 8 - 2b - b^2 + 2c + 2c - 2bc = 0

• b^2 - 2b + 4c - 2bc = 0

Аналогично предыдущему случаю, мы можем решить это квадратное уравнение относительно переменной b и подставить различные значения c, чтобы найти тройки (a; b; c).

Таким образом, тройки (a; b; c), удовлетворяющие условию, могут быть найдены, решив соответствующие квадратные уравнения для фиксированных значений a или использовав численные методы для решения кубического уравнения.