Question

Y''-6y'+8y=0 при y(0)=2,y'(0)=0

Answer 1

$y''-6y'+8y=0$ - однородное ДУ второго порядка.

Составим характеристическое уравнение: $k^2-6k+8=0\to (k-4)(k-2)=0\to k_1=2,\:k_2=4$

Тогда общее решение имеет вид $y=C_1e^{2x}+C_2e^{4x}$

$y(0)=2\to 2=C_1e^{0}+C_2e^{0}\to C_1+C_2=2\to C_1=2-C_2 \to y=(2-C_2 )e^{2x}+C_2e^{4x}\to y'=2(2-C_2 )e^{2x}+4C_2e^{4x}\\ y'(0)=0\to 0=2(2-C_2 )e^{0}+4C_2e^{0}\to 0=2(2-C_2 )+4C_2 \to 0=4+2C_2\to C_2=-2\to C_1=4\\ y=4e^{2x}-2e^{4x}$

Answer 2

Данное уравнение является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка со const-коэффициентами. Для его решения можно использовать характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид: r^2 - 6r + 8 = 0,

где r - неизвестная.

Решим это уравнение, находя его корни: (r - 4)(r - 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня: r1 = 4 и r2 = 2.

Теперь, решение дифференциального уравнения будет иметь вид: y(x) = c1 * e^(r1x) + c2 * e^(r2x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые нужно найти.

Теперь, для нахождения этих констант, мы можем использовать начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = 0.

Подставим начальные условия в уравнение: y(0) = c1 * e^(r10) + c2 * e^(r20) = c1 + c2 = 2, y'(0) = c1 * r1 * e^(r10) + c2 * r2 * e^(r20) = c1 * r1 + c2 * r2 = 0.

Из первого уравнения следует, что c1 = 2 - c2. Подставим это во второе уравнение: (2 - c2) * r1 + c2 * r2 = 0.

Решим это уравнение относительно c2: 2r1 - c2 * r1 + c2 * r2 = 0, c2 * (r2 - r1) = 2r1, c2 = (2r1) / (r2 - r1).

Теперь, найдя значение c2, можно найти значение c1: c1 = 2 - c2.

Таким образом, мы находим значения констант c1 и c2, которые используем для получения финального решения уравнения.