Question

Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(3; 7; 2), B(4; 0; 8), D(–1; –3; 1), A1(2; 3; 7). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosADC; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из C на AD; 4) объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущенную из A1 на основание ABCD.

Answer 1

Посмотрите три первые задания из пяти, по возможности проверьте арифметику (ответы отмечены красным).

Answer 2

Чтобы решить задачу, нам понадобится найти векторы, площадь параллелограмма и объем параллелепипеда. Для начала, найдем векторы AB, AD и AA1:

1. Векторы AB, AD и AA1:

AB = B - A = (4 - 3, 0 - 7, 8 - 2) = (1, -7, 6) AD = D - A = (-1 - 3, -3 - 7, 1 - 2) = (-4, -10, -1) AA1 = A1 - A = (2 - 3, 3 - 7, 7 - 2) = (-1, -4, 5)

2. Площадь параллелограмма ABCD:

Площадь параллелограмма ABCD равна модулю векторного произведения AB и AD:

S = |AB x AD| где x - операция векторного произведения.

AB x AD = i(AB_y * AD_z - AB_z * AD_y) - j(AB_x * AD_z - AB_z * AD_x) + k(AB_x * AD_y - AB_y * AD_x) AB x AD = i((-7 * -1) - (6 * -10)) - j((1 * -1) - (6 * -4)) + k((1 * -10) - (-7 * -4)) AB x AD = i(7 + 60) - j(1 + 24) + k(-10 + 28) AB x AD = i(67) - j(25) + k(18)

Теперь найдем модуль этого вектора:

|AB x AD| = √(67^2 + (-25)^2 + 18^2) ≈ √(4489 + 625 + 324) = √5438 ≈ 73.7

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD ≈ 73.7

3. cos(ADC):

cos(ADC) можно найти с помощью скалярного произведения векторов AD и AC (где AC = C - A):

AD = (-4, -10, -1) AC = C - A = (x_C - 3, y_C - 7, z_C - 2)

Теперь найдем скалярное произведение AD и AC:

AD · AC = (-4 * (x_C - 3)) + (-10 * (y_C - 7)) + (-1 * (z_C - 2))

Так как угол ADC прямой (так как ABCD - параллелограмм), то cos(ADC) = 0.

Ответ: cos(ADC) = 0

4. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1:

Объем параллелепипеда можно найти как модуль смешанного произведения векторов AB, AD и AA1:

V = |(AB × AD) · AA1| где × - смешанное произведение векторов.

AB × AD = i(67) - j(25) + k(18) AB × AD · AA1 = (67 * -1) - (25 * -4) + (18 * 5) = -67 + 100 + 90 = 123

Теперь найдем модуль этого числа:

|123| = 123

Ответ: Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 = 123

5. Высота параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущенная из A1 на основание ABCD:

Для нахождения высоты параллелепипеда, опущенной из A1 на основание ABCD, нам нужно найти проекцию вектора AA1 на вектор, образованный сторонами ABCD.

Высота h = |(AA1 · n)| / |n| где n - нормаль к плоскости ABCD, которая равна векторному произведению AB и AD.

n = AB × AD = i(67) - j(25) + k(18)

Теперь найдем скалярное произведение AA1 и n:

AA1 · n = (-1 * 67) + (-4 * -25) + (5 * 18) = -67 + 100 + 90 = 123

Также найдем модуль вектора n:

|n| = √(67^2 + (-25)^2 + 18^2) ≈ √5438 ≈ 73.7

Теперь можем найти высоту h:

h = |AA1 · n| / |n| = 123 / 73.7 ≈ 1.67

Ответ: Высота параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущенная из A1 на основание ABCD ≈ 1.67