Question

Координаты треугольника A(-5;9) B(7;0) C(5;14). Найти: 1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой; 3) уравнение высоты CD и ее длину; 4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD . Сделать чертеж.

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника: A(-5; 9), B(7; 0), C(5; 14).

1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты;

Находим векторы АВ и АС:

АВ: (12; -9), АС:(10; 5).

Получаем уравнения:

АВ: (х + 5)/12 = (у - 9)/(-9),

АС: (х + 5)/10 = (у - 9)/5.

Угловые коэффициенты сторон      

Кав = Ув-Уа =  -9/12 = -0,75.

 Хв-Ха

Квс = Ус-Ув = 14/(-2) = -7.

 Хс-Хв

Кас = Ус-Уа = 5/10 = 0,5.

 Хс-Ха  

2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой. Находим по теореме косинусов.

Находим длины сторон.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 =  15.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √200 ≈   14,142.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √125 ≈  11,18.

cos A = (225 + 125 - 200)/(2*15*√125 = 150/(30√125) = √5/5.

A = arc cos(√5/5) ≈ 1,107148718 ≈ 1,11 радиан .

3) уравнение высоты CD и ее длину.

Находим площадь треугольника по формуле:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.

Подставив координаты точек, получаем S = 75 кв.ед.      

Длина СD = 2S/AB = 2*75/15 = 10.

k(CD) = -1/k(AB) = -1/(-3/4) = 4/3.

Уравнение: у = (4/3)х + в. Подставим координаты точки С.

14 = (4/3)*5 + в, отсюда в  = 14 - (20/3) = 22/3.

Уравнение CD: y = (4/3)x + (22/3)

4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

Точка Е как середина ВС: ((7+5)/2=6; (0+14)/2=7) = (6; 7).

Вектор АЕ: (11; -2)

Уравнение АЕ: (х + 5)/11 = (у - 9)/(-2).

Приведём к виду с угловым коэффициентом:

у = (-2/11)х + (89/11).

Точка К как пересечение AE и CD.

Приравниваем:  (-2/11)х + (89/11) =  (4/3)x + (22/3),

(-50/33)х = (-25/33).

Отсюда х = (1/2), у = 8.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте последовательно выполнять каждый пункт:

1. Найдем уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты:

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), имеет вид: y - y₁ = m(x - x₁), где m - угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент m вычисляется как: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

AB: A(-5, 9) и B(7, 0) m_AB = (0 - 9) / (7 - (-5)) = -9 / 12 = -3 / 4.

Уравнение стороны AB: y - 9 = (-3/4)(x + 5).

AC: A(-5, 9) и C(5, 14) m_AC = (14 - 9) / (5 - (-5)) = 5 / 10 = 1 / 2.

Уравнение стороны AC: y - 9 = (1/2)(x + 5).

2. Найдем угол A:

Для этого нам понадобится угловой коэффициент BC, обозначим его как m_BC.

BC: B(7, 0) и C(5, 14) m_BC = (14 - 0) / (5 - 7) = 14 / (-2) = -7.

Теперь угол A между AB и AC можно найти используя следующую формулу:

tan(A) = |(m_BC - m_AB) / (1 + m_BC * m_AB)|.

tan(A) = |((-7) - (-3/4)) / (1 + (-7) * (-3/4))| = 29 / 31.

Угол A в радианах: A_rad = arctan(29/31). Угол A в градусах: A_deg = A_rad * (180 / π).

3. Найдем уравнение высоты CD и ее длину:

Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через точку C(5, 14).

Угловой коэффициент высоты CD равен обратному и противоположному угловому коэффициенту AB:

m_CD = 4/3 (перпендикулярный и противоположный -3/4).

Уравнение высоты CD: y - 14 = (4/3)(x - 5).

Чтобы найти длину высоты CD, нам сначала нужно найти точку пересечения высоты CD с стороной AB. Обозначим эту точку K(x_k, y_k).

Так как K лежит на стороне AB, удовлетворяет уравнению AB: y_k - 9 = (-3/4)(x_k + 5).

Теперь, чтобы найти K, решим систему уравнений AB и CD.

4. Найдем уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD:

Медиана делит сторону BC пополам и проходит через вершину A(-5, 9).

Координаты точки E, лежащей на стороне BC: E(x_e, y_e) = ((7+5)/2, (0+14)/2) = (6, 7).

Угловой коэффициент медианы AE равен угловому коэффициенту EA, который равен обратному и противоположному угловому коэффициенту AC:

m_AE = -2 (перпендикулярный и противоположный 1/2).

Уравнение медианы AE: y - 9 = -2(x + 5).

Теперь, чтобы найти точку K(x_k, y_k), решим систему уравнений AE и CD.

Найденные уравнения и точки:

1. Уравнение стороны AB: y - 9 = (-3/4)(x + 5). Уравнение стороны AC: y - 9 = (1/2)(x + 5).

2. Угол A в радианах: A_rad = arctan(29/31). Угол A в градусах: A_deg = A_rad * (180 / π).

3. Уравнение высоты CD: y - 14 = (4/3)(x - 5).

4. Уравнение медианы AE: y - 9 = -2(x + 5). Координаты точки K(x_k, y_k) - точка пересечения медианы AE и высоты CD.

Чтобы создать чертеж треугольника, используйте найденные координаты и уравнения, чтобы нарисовать треугольник ABC и провести стороны AB, AC, высоту CD и медиану AE, а также отметить точку K.