Question

Даны координаты вершин треугольника ABC . Найти: 1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой; 3) уравнение высоты CD и ее длину; 4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD A (-3;10) B (9;1) C (7;15)

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника  ABC :

A (-3; 10), B (9; 1), С (7;15). Найти:

1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты (к).

Вектор АВ = (9-(-3); 1-10) = (12; -9), к = -9/12 = -3/4.

Вектор АС = (7-(-3); 15-10) = (10; 5), к = 5/10 = 1/2.

Уравнения сторон:

АВ: (x + 3)/12 = (y -10)/(-9) это канонический вид.

АВ: у = (-3/4)х + в, подставим координаты точки А: 10 = (-3/4)*(-3) + в, отсюда в = 10 - (9/4) = 31/4. Имеем уравнение с угловым коэффициентом. АВ: у = (-3/4)х + (31/4).

АС: (x + 3)/10 = (y -10)/5.

у = (1/2)х + в, 10 = (1/2)*(-3) + в, в = 10 + (3/2) = 23/2.

АС: у = (1/2)х + (23/2).

2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой.

Вектор АВ = (12; -9), модуль равен √(144 + 81) = √225 = 15.

Вектор АС = (10; 5),модуль равен √(100 + 25) = √125 = 5√5.

cos A = (12*10+(-9)*5)/(15*5√5) = 1/√5 ≈ 0,447213595  

A = 1,10715 радиан  или 63,43495 градусов .

3) уравнение высоты CD и ее длину;

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-3/4) = 4/3.

СД: у = (4/3х + в, т.С: 15 = (4/3)*7 + в, в = 15 - 28/3 = 17/3.

СД: у = (4/3)х + (17/3).

Находим площадь треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 75 .

h(CD) = 2S/|AB| = 2*75/15 = 10.

4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

АE :          Х-Ха      =     У-Уа      

        Ха1-Ха                Уа1-Уа      

у = -0,181818182 х + 9,454545455           АE : -2 Х + -11 У + 104 = 0 .

АE : у = -0,181818182 х + 9,454545455

СD: у = 1,333333333 х + 5,666666667

     

Точка пе  Х = 2,5,  

ресечения  У = 9.  

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты.
2. Найдем угол A в радианах и градусах.
3. Найдем уравнение высоты CD и ее длину.
4. Найдем уравнение медианы AE и координаты точки K.

1. Уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты:

Уравнение прямой через две точки (x1, y1) и (x2, y2) задается формулой:

y - y1 = m(x - x1),

где m - угловой коэффициент прямой, который равен (y2 - y1) / (x2 - x1).

AB: (x1, y1) = (-3, 10) (x2, y2) = (9, 1)

m_AB = (1 - 10) / (9 - (-3)) = (-9) / 12 = -3/4

Уравнение стороны AB: y - 10 = (-3/4)(x + 3)

AC: (x1, y1) = (-3, 10) (x2, y2) = (7, 15)

m_AC = (15 - 10) / (7 - (-3)) = 5 / 10 = 1/2

Уравнение стороны AC: y - 10 = (1/2)(x + 3)

2. Угол A в радианах и градусах:

Для нахождения угла A мы можем воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя векторами:

cos(A) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|),

где AB и AC - векторы, и |AB| и |AC| - их длины.

AB = (9 - (-3), 1 - 10) = (12, -9) AC = (7 - (-3), 15 - 10) = (10, 5)

|AB| = √(12^2 + (-9)^2) = √(144 + 81) = √225 = 15 |AC| = √(10^2 + 5^2) = √(100 + 25) = √125 = 5√5

cos(A) = ((12 * 10) + (-9 * 5)) / (15 * 5√5) = (120 - 45) / (75√5) = 75 / (75√5) = 1 / √5

A = arccos(1 / √5) ≈ 0.7854 радиан ≈ 45 градусов.

3. Уравнение высоты CD и ее длина:

Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через точку C(7, 15). Угловой коэффициент высоты равен -1/m_AB, где m_AB - угловой коэффициент стороны AB.

m_CD = -1/(-3/4) = 4/3

Теперь мы можем использовать уравнение прямой:

y - 15 = (4/3)(x - 7)

4. Уравнение медианы AE и координаты точки K:

Медиана AE делит сторону BC пополам, поэтому координаты точки K можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C:

K(x_k, y_k) = ((9 + 7) / 2, (1 + 15) / 2) = (8, 8)

Уравнение медианы AE можно найти, используя координаты точек A и K:

(x1, y1) = (-3, 10) (x2, y2) = (8, 8)

m_AE = (8 - 10) / (8 - (-3)) = (-2) / 11

Уравнение медианы AE: y - 10 = (-2/11)(x + 3)

Теперь у вас есть ответы на все четыре части задачи: уравнения сторон AB и AC, угол A, уравнение высоты CD и ее длина, а также уравнение медианы AE и координаты точки K.