Question

Докажите что произведение всех натуральных чисел от одного до девятнадцати не может быть квадратом натурального числа! пожалуйста

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1*...*12

Разложим на множители, затем найдём пары

1*2*3*4*5*6*7*(2*4)*9*(5*2)*11*(6*2)=

2*4*2*4*3*5*7*9*(6*6)*(5*2)*11*2= (2*4*5*3*2*6)^2 *3*7*11.

7 и 11 простые числа, а значит разложить дальше не получится а значит заданное число нельзя представить в виде квадрата натурального числа.

Answer 2

Допустим, мы предполагаем, что произведение всех натуральных чисел от 1 до 19 является квадратом натурального числа. Обозначим это произведение как N.

Тогда можно записать:

N = 1 * 2 * 3 * ... * 19

Давайте рассмотрим простые числа в разложении этого произведения: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Заметим, что каждое из этих простых чисел встречается в разложении в нечетной степени (так как мы берем их произведение).

Теперь предположим, что N является квадратом натурального числа. Тогда каждое простое число встречается в разложении N в четной степени, так как квадрат имеет четную степень каждого из его простых множителей.

Это противоречие доказывает, что N не может быть квадратом натурального числа. Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 1 до 19 не может быть квадратом натурального числа.