Question

Значение производной функции y=x^lnx в точке x0= e равно...

Answer 1

Ответ:

2.

Пошаговое объяснение:

$y'=((e^{lnx}) ^{lnx})'=(e^{ln^2x} )'=e^{ln^2x}(ln^2x)'=e^{ln^2x}*2lnx(lnx)'=e^{ln^2x}*\frac{2lnx}{x} =\frac{2lnxe^{ln^2x}}{x} .\\y'(e)=\frac{2lne*e^{ln^2e}}{e} =\frac{2e}{e} =2.$

Answer 2

Для нахождения значения производной функции y=x^ln(x) в точке x0=e, воспользуемся правилом дифференцирования функции вида y=x^u, где u - функция от x.

Применим правило производной сложной функции (chain rule). Обозначим u = ln(x). Тогда функция y=x^ln(x) может быть переписана в виде y=e^(ln(x) * ln(x)).

Дифференцируем функцию y=e^(ln(x) * ln(x)) по переменной x, используя chain rule: dy/dx = d(e^(ln(x) * ln(x))) / dx = e^(ln(x) * ln(x)) * d(ln(x) * ln(x))/dx

Теперь дифференцируем выражение d(ln(x) * ln(x))/dx. Воспользуемся правилом производной произведения функций и правилом дифференцирования натурального логарифма.

d(ln(x) * ln(x))/dx = (1/x) * ln(x) + (1/x) * ln(x) = (2/x) * ln(x)

Подставим это выражение в исходную формулу:

dy/dx = e^(ln(x) * ln(x)) * (2/x) * ln(x)

Теперь подставим x0=e в полученное выражение:

dy/dx|x=e = e^(ln(e) * ln(e)) * (2/e) * ln(e) = e^(1 * 1) * (2/e) * 1 = e * (2/e) = 2

Таким образом, значение производной функции y=x^ln(x) в точке x0=e равно 2.