Question

В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Answer 1

Ответ:

Xi         0              1               2               3               4              5

Pi   0,01024    0,0768     0,2304     0,3456    0,2592    0,07776  

M[X]=3, D[X]=1,2.      

Пошаговое объяснение:

В данном случае испытанием является взятие шара, причём выбор любого шара равновероятен, а так как шар возвращается обратно, то эта вероятность не зависит от порядкового номера испытания, то есть остаётся постоянной. Отсюда следует, что наши испытания происходят по схеме "испытаний Бернулли", в которых событием является появление белого шара, а вероятность этого события при любом испытании p=6/(6+4)=6/10=0,6. Тогда вероятность непоявления белого шара при испытании q=1-p=0,4. Число извлечённых белых шаров может принимать значения от 0 до 5, найдём соответствующие вероятности по формуле Pk=C(n,k)*p^k*q^(n-k), где C(n,k) - число сочетаний из n по k:

P0=C(5,0)*0,6⁰*0,4⁵=0,01024

P1=C(5,1)*0,6¹*0,4⁴=0,0768;

P2=C(5,2)*0,6²*0,4³=0,2304;

P3=C(5,3)*0,6³*0,4²=0,3456;

P4=C(5,4)*0,6⁴*0,4¹=0,2592;

P5=C(5,5)*0,6⁵*0,4⁰=0,07776

Так как сумма вероятностей равна 1, то вероятности найдены верно. Составляем закон распределения:

Xi         0              1               2               3               4              5

Pi   0,01024    0,0768     0,2304     0,3456    0,2592    0,07776  

Математическое ожидание M[X]=∑Xi*Pi=0*0,01024+1*0,0768+2*0,2304+3*0,3456+4*0,2592+5*0,07776=3

Дисперсия D[X]=∑(Xi-M[X])²*Pi=(0-3)²*0,01024+(1-3)²*0,0768+(2-3)²*0,2304+(3-3)²*0,3456+(4-3)²*0,2592+(5-3)²*0,07776=1,2.      

Answer 2

Для определения закона распределения случайной величины X, которая представляет собой число извлеченных белых шаров, мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение описывает вероятность получения k успехов в n независимых испытаниях с фиксированным успехом на каждом испытании (вынимание белого шара) при условии, что вероятность успеха (вероятность вынуть белый шар) на каждом испытании одинакова и равна p.

В данной задаче, у нас есть 6 белых и 4 черных шара, поэтому общее число испытаний n = 5. Вероятность вынуть белый шар (успех) на каждом испытании равна p = 6 / (6 + 4) = 0.6.

Теперь составим закон распределения для X:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где C(n, k) - число сочетаний из n по k (количество способов выбрать k успехов из n испытаний).

P(X = k) = C(5, k) * 0.6^k * (1 - 0.6)^(5 - k).

Теперь найдем значения P(X = k) для всех возможных значений k (от 0 до 5):

P(X = 0) = C(5, 0) * 0.6^0 * (1 - 0.6)^5 ≈ 0.01024, P(X = 1) = C(5, 1) * 0.6^1 * (1 - 0.6)^4 ≈ 0.0768, P(X = 2) = C(5, 2) * 0.6^2 * (1 - 0.6)^3 ≈ 0.2304, P(X = 3) = C(5, 3) * 0.6^3 * (1 - 0.6)^2 ≈ 0.3456, P(X = 4) = C(5, 4) * 0.6^4 * (1 - 0.6)^1 ≈ 0.2592, P(X = 5) = C(5, 5) * 0.6^5 * (1 - 0.6)^0 ≈ 0.07776.

Теперь определим математическое ожидание E(X) и дисперсию Var(X) для этой случайной величины:

Математическое ожидание E(X) вычисляется как сумма произведений значений X на их вероятности:

E(X) = Σ [k * P(X = k)].

E(X) = 0 * 0.01024 + 1 * 0.0768 + 2 * 0.2304 + 3 * 0.3456 + 4 * 0.2592 + 5 * 0.07776 ≈ 2.4.

Дисперсия Var(X) вычисляется как сумма произведений квадратов отклонения значений X от математического ожидания, умноженных на их вероятности:

Var(X) = Σ [(X - E(X))^2 * P(X = k)].

Var(X) = (0 - 2.4)^2 * 0.01024 + (1 - 2.4)^2 * 0.0768 + (2 - 2.4)^2 * 0.2304 + (3 - 2.4)^2 * 0.3456 + (4 - 2.4)^2 * 0.2592 + (5 - 2.4)^2 * 0.07776 ≈ 1.44.

Итак, закон распределения случайной величины X (число извлеченных белых шаров) будет выглядеть следующим образом:

X	0	1	2	3	4	5
P(X)	0.01024	0.0768	0.2304	0.3456	0.2592	0.07776

Математическое ожидание E(X) ≈ 2.4. Дисперсия Var(X) ≈ 1.44.