Question

Решаем все вместе! (формула Бернули) В урне 40 белых и 25 черных шаров. Вынули подряд 6 шаров , причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего шара , шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из шести вынутых шаров окажется три белых.

Answer 1

Схема Бернулли: $P_{n}(k) = C^{k}_{n} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k},$ где $p$ и $q$ — соответственно вероятности, для которых событие случится и не случится.

$P_{6}(3) = C^{3}_{6} \cdot \left(\dfrac{40}{65} \right)^{3} \cdot \left(1 - \dfrac{40}{65} \right)^{6-3} = \dfrac{6!}{(6 - 3)! 3!} \cdot \dfrac{8^{3}}{13^{3}} \cdot \dfrac{5^{3}}{13^{3}} =$

$= \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{6 \cdot 3!} \cdot \dfrac{(8 \cdot 5)^{3}}{13^{6}} = \dfrac{1280000}{4826809} \approx 0,265$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Бернулли для вычисления вероятности успеха (вытащить белый шар) в серии независимых испытаний (вытаскивание шаров). В данном случае, вероятность успеха - это вероятность вытащить белый шар.

Формула Бернулли: $P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $P(k)$ - вероятность получить $k$ успехов,
• $C_n^k$ - число сочетаний из $n$ по $k$ (также известное как биномиальный коэффициент),
• $p$ - вероятность успеха (вытащить белый шар),
• $q$ - вероятность неудачи (вытащить черный шар),
• $n$ - общее количество испытаний (вытаскиваний шаров).

В данной задаче:

• $n = 6$ (вытаскиваем 6 шаров),
• $p = \frac{40}{40 + 25} = \frac{40}{65}$ (вероятность вытащить белый шар),
• $q = \frac{25}{40 + 25} = \frac{25}{65}$ (вероятность вытащить черный шар),
• $k = 3$ (из 6 шаров нужно получить 3 белых).

Подставляя значения в формулу, получаем: $P(3) = C_6^3 \cdot \left(\frac{40}{65}\right)^3 \cdot \left(\frac{25}{65}\right)^3$

Вычислив численные значения, получаем вероятность: $P(3) \approx 0.2938$

Итак, вероятность того, что из шести вынутых шаров окажется три белых, составляет приблизительно 0.2938, или около 29.38%.