Question

Найти точки экстремума и прожемуточки монотонности У=х^3-48х+17

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума и производные монотонности функции $Y = x^3 - 48x + 17$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции $Y$ по переменной $x$ для определения экстремумов.
2. Найдем вторую производную функции $Y$ для определения типа экстремума.
3. Найдем точки, где первая производная равна нулю, чтобы найти экстремумы.
4. Найдем интервалы, на которых первая производная меняет знак, чтобы определить интервалы монотонности.

Шаг 1: Найдем первую производную $Y'$ функции $Y$: $Y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 48x + 17) = 3x^2 - 48$.

Шаг 2: Найдем вторую производную $Y''$ функции $Y$: $Y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 48x + 17) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 48) = 6x$.

Шаг 3: Чтобы найти точки экстремума, приравняем первую производную $Y'$ к нулю и решим уравнение: $3x^2 - 48 = 0$.

Решим это уравнение: $3x^2 = 48$, $x^2 = 16$, $x = \pm 4$.

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: $x = 4$ и $x = -4$.

Шаг 4: Чтобы определить интервалы монотонности, рассмотрим знак первой производной $Y'$ на разных интервалах.

a) Если $x < -4$, то $3x^2 - 48 < 0$, так как оба слагаемых отрицательны ($3x^2$ всегда положительно, а $-48$ отрицательно). Значит, $Y' < 0$ на интервале $(-\infty, -4)$.

b) Если $-4 < x < 4$, то $3x^2 - 48 > 0$, так как оба слагаемых положительны ($3x^2$ всегда положительно, а $-48$ отрицательно). Значит, $Y' > 0$ на интервале $(-4, 4)$.

c) Если $x > 4$, то $3x^2 - 48 > 0$, так как оба слагаемых положительны ($3x^2$ всегда положительно, а $-48$ отрицательно). Значит, $Y' > 0$ на интервале $(4, \infty)$.

Итак, функция $Y$ убывает на интервале $(-\infty, -4)$, возрастает на интервале $(-4, 4)$ и снова убывает на интервале $(4, \infty)$.

Таким образом, точки экстремума функции $Y$ равны $x = 4$ и $x = -4$, а интервалы монотонности функции - $(-\infty, -4)$, $(-4, 4)$ и $(4, \infty)$.