Question

У = - ¼ ∙ х^4 + х^2 Найти: 1. область определения функции; 2. производную функции; 3. стационарные точки; 4. промежутки монотонности и точки экстремума 5. найти значение функции в точках экстремума 6. построить график функции, используя дополнительные точки

Answer 1

Ответ:

1. Область определения x ∈(-∞,+∞), функция - чётная

2. y' = -x³+2x

3. y'=0, 2x-x³=0, x(2-x²)=0, стационарные точки x=0, x=±$\sqrt{2}$

4. y'>0, x>0, x<$\sqrt{2}$, x∈(0,

  y'>0, x<0, x< -$\sqrt{2}$, x∈(-∞,-

 Тогда промежуток возрастания x ∈(-∞,-$\sqrt{2}$)∪(0,

 Промежуток убывания x ∈ (-$\sqrt{2}$,0)∪(

В точке x = 0, производная меняет знак с минуса на плюс, то есть x=0 - точка минимума

в окрестности точек x=±$\sqrt{2}$ производная меняет знак с плюса на минус, это точки максимума

y(0)=0

y(±$\sqrt{2}$)=2-1=1

вот и график, построенный в Октаве

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим заданную функцию и последовательно выполним каждый из указанных пунктов.

Данная функция: У = -¼ * x^4 + x^2

1. Область определения функции: Функция определена для любого действительного числа x. Таким образом, область определения - это множество всех действительных чисел, то есть (-∞, +∞).

2. Производная функции: Для нахождения производной функции, возьмем производную от каждого слагаемого:

   У' = d/dx (-¼ * x^4 + x^2) = -1 * 4 * ¼ * x^3 + 2 * x = -x^3 + 2x

3. Стационарные точки: Стационарные точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Решим уравнение -x^3 + 2x = 0:

   -x^3 + 2x = 0 x * (-x^2 + 2) = 0

   Получаем два значения x: x = 0 и x = ±√2. Эти значения представляют стационарные точки функции.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума: Для анализа промежутков монотонности и точек экстремума используем значения стационарных точек и интервалы между ними (-∞, -√2), (-√2, 0), (0, √2), (√2, +∞). Подставим вторую производную (-3x^2 + 2) в эти интервалы, чтобы определить знак производной.

   • В интервале (-∞, -√2): Вторая производная отрицательна, значит, функция выпукла вниз. Это означает, что на данном интервале функция убывает.
   • В интервале (-√2, 0): Вторая производная положительна, функция выпукла вверх. Функция возрастает на этом интервале.
   • В интервале (0, √2): Вторая производная положительна, функция выпукла вверх. Функция также возрастает.
   • В интервале (√2, +∞): Вторая производная отрицательна, функция выпукла вниз. Функция убывает.

5. Значения функции в точках экстремума: Подставим найденные стационарные точки в исходную функцию, чтобы найти значения функции в этих точках.

   • При x = 0: У(0) = -¼ * 0^4 + 0^2 = 0
   • При x = √2: У(√2) = -¼ * (√2)^4 + (√2)^2 = -1/4 * 2^2 + 2 = -1/4 * 4 + 2 = -1 + 2 = 1
   • При x = -√2: У(-√2) = -¼ * (-√2)^4 + (-√2)^2 = -1/4 * 2^2 + 2 = -1 + 2 = 1

6. Построение графика функции: Для построения графика функции мы можем использовать найденные точки экстремума и другие дополнительные точки, чтобы получить общее представление о форме функции.

   График функции будет в форме параболы, открывающейся вниз. Он будет проходить через точки (0, 0), (√2, 1) и (-√2, 1). Остальная часть графика будет определена формой параболы.

   (Визуальное представление графика может быть добавлено здесь, но так как я текстовый движок, я не могу реально нарисовать графики. Вы можете использовать графические инструменты, такие как Wolfram Alpha или графические программы, чтобы построить график функции.)

Это завершает анализ заданной функции и выполнение всех указанных пунктов.