Question

У = - х 3 + 4х 2 – 4х Найти: 1. область определения функции; 2. производную функции; 3. стационарные точки; 4. промежутки монотонности и точки экстремума; 5. найти значение функции в точках экстремума; 6. построить график функции, используя дополнительные точки.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

У = - х³+ 4х² – 4х

1. область определения функции- любое х.;

2. производную функции у'=(-х³+4х²+4х)'=-3х²+8х-4  ;

3. стационарные точки  -3х²+8х-4 =0

3х²-8х+4 =0,

Д=в²-4ас, Д=(-8)²-4*3*4=64-48=16

х₁=(-в+√Д):2а , х₁=(8+4):6=2 ,  

х₂=(-в-√Д):2а , х₂=(8-4):6=2\3 ;

4. промежутки монотонности и точки экстремума

у'          -                                 +                          -

-----------------------(2\3)---------------------------(2)---------------

у     убыв           min             возр         max        убыв

х=2\3  точка минимума  ,

х=2 точка максимума .

Возрастает при  х∈[2\3 ;2] , убывает при   х∈(-∞;2\3] и [2;+∞) ;

5. найти значение функции в точках экстремума

у(2\3)= - (2\3)³+ 4*(2\3)²– 4*(2\3)≈-1,2

у(2)=У = - 2³+ 4*2² – 4*2=0 ;

6.дополнительные точки

у(-1)=9 ,у(0)=0 ,у(1)=1 , у(2)=0 , у(3)=-3 ,у(4)=16.

Answer 2

Давайте последовательно решим все задачи для данной функции У = -х^3 + 4х^2 - 4х.

1. Область определения функции: Функция у = -х^3 + 4х^2 - 4х определена для любого значения х, так как в данном случае нет никаких ограничений для х.

2. Производная функции: Производная функции у по переменной х вычисляется путем дифференцирования каждого члена по отдельности: у' = d/dx(-х^3) + d/dx(4х^2) - d/dx(4х) у' = -3х^2 + 8х - 4

3. Стационарные точки (точки, где производная равна нулю): Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение: -3х^2 + 8х - 4 = 0

Это квадратное уравнение не имеет простых целочисленных корней. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней: х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В данном случае a = -3, b = 8 и c = -4. Подставляя значения, получаем два корня:

х = ( -8 ± √(8^2 - 4 * (-3) * (-4)) ) / (2 * (-3)) х = ( -8 ± √(64 - 48)) / (-6) х = ( -8 ± √16) / (-6) х = ( -8 ± 4) / (-6)

Итак, стационарные точки: х₁ = 2/3 и х₂ = -2.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума: Чтобы найти промежутки монотонности, нужно проанализировать знак производной в интервалах между стационарными точками и за пределами них:

• В интервале (-∞, -2): у' > 0, следовательно, функция возрастает.
• В интервале (-2, 2/3): у' < 0, следовательно, функция убывает.
• В интервале (2/3, +∞): у' > 0, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, у нас есть точка минимума в x = -2 и точка максимума в x = 2/3.

5. Значение функции в точках экстремума: Для нахождения значений функции в точках экстремума подставим эти значения x в исходную функцию:

• Для x = -2: у = -(-2)^3 + 4(-2)^2 - 4(-2) = -8 + 16 + 8 = 16.
• Для x = 2/3: у = -(2/3)^3 + 4(2/3)^2 - 4(2/3) ≈ -0.5185.

6. Построение графика функции: Чтобы построить график функции, мы можем использовать найденные точки экстремума, а также дополнительные точки в интервалах монотонности. Например, можно выбрать несколько значений х в интервалах (-∞, -2), (-2, 2/3) и (2/3, +∞), и подставить их в функцию, чтобы получить соответствующие значения у. Затем нарисовать график, соединяя эти точки плавными кривыми.

К сожалению, я не могу непосредственно создать графики, но вы можете использовать графические инструменты, такие как Microsoft Excel, Google Sheets, Wolfram Alpha или программы для построения графиков, чтобы визуализировать эту функцию с учетом найденных данных.