Question

В партии готовой продукции из 20 лампочек 6 повышенного качества. В выборку берут 5 лампочек. Какова вероятность того, что 3 лампочки выборки будут повышенного качества.

Answer 1

Гипергеометрическое распределение

P( 3;20;6;5) = C( 6;3) * C( 14;2) / C(20;5) = (6*5*4*14*13*2*3*4*5)/(2*3*2*20*19*18*17*16) =~ 0.117389

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода для каждой лампочки (повышенного качества или нет), и вероятность успеха (повышенного качества) остается постоянной в каждой попытке (выборках).

Формула для биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где: P(X = k) - вероятность того, что будет k успехов в n независимых попытках, C(n, k) - число сочетаний из n по k (количество способов выбрать k элементов из n), p - вероятность успеха в одной попытке (в данном случае вероятность выбрать лампочку повышенного качества), k - количество успехов (лампочек повышенного качества), n - общее количество попыток (лампочек в выборке).

В нашем случае: p = 6/20 (вероятность выбрать лампочку повышенного качества), k = 3 (количество лампочек повышенного качества в выборке), n = 5 (общее количество лампочек в выборке).

Теперь можем вычислить вероятность P(X = 3):

P(X = 3) = C(5, 3) * (6/20)^3 * (1 - 6/20)^(5-3)

Вычислим сочетания C(5, 3):

C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10.

Теперь подставим значения:

P(X = 3) = 10 * (6/20)^3 * (1 - 6/20)^2 P(X = 3) = 10 * (0.3)^3 * (0.7)^2 P(X = 3) = 10 * 0.027 * 0.49 P(X = 3) = 0.1323.

Итак, вероятность того, что 3 лампочки из выборки из 5 будут повышенного качества, составляет примерно 0.1323 или около 13.23%.