Question

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=x^2-1, y=0, x=2

Answer 1

Ответ:

$1)y = {x}^{2} 2 - 1 \\ 0 = {x}^{2} \times 2 - 1 \\ x = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ 3)x = 2 \\ x - 2 = 0$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной указанными линиями, необходимо вычислить определенный интеграл от функции, задающей верхнюю границу трапеции, вычитая интеграл от функции, задающей нижнюю границу.

Дано: Верхняя граница: y = x^2 - 1 Нижняя граница: y = 0 Границы x: x = 2

Для начала определим точки пересечения линий y = x^2 - 1 и y = 0: x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, наша криволинейная трапеция ограничена вертикальными линиями x = -1 и x = 2, а верхняя граница задается функцией y = x^2 - 1.

Теперь можем вычислить площадь криволинейной трапеции, используя интегралы:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где a = -1 и b = 2, f(x) = x^2 - 1 и g(x) = 0.

S = ∫[-1,2] (x^2 - 1 - 0) dx = ∫[-1,2] (x^2 - 1) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [1/3 * x^3 - x]│[-1,2] = (1/3 * 2^3 - 2) - (1/3 * (-1)^3 - (-1)) = (8/3 - 2) - (1/3 - 1) = (8/3 - 6/3) - (1/3 - 3/3) = 2/3 - (-2/3) = 4/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x^2 - 1, y = 0 и x = 2, равна 4/3.