Question

Помогите пожалуйста с производной: y=tg^4(3x)*arctg(7x)^2

Answer 1

Y = tg³(2-3x)
y' = 3 tg²(2-3x) (tg(2-3x))' = 3 tg²(2-3x) (2-3x)' / cos²(2-3x) = -9 tg²(2-3x) / cos²(2-3x)

Answer 2

Для нахождения производной функции y = tg^4(3x) * arctg(7x)^2, мы можем использовать правило производной произведения функций. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и найдем их производные.

1. Найдем производную функции tg^4(3x): Для этого мы можем использовать правило производной сложной функции. Обозначим f(x) = tg^4(x), а g(x) = 3x. Тогда производная f'(x) = 4tg^3(x) * (tg(x))' и g'(x) = 3.

(tg(x))' = sec^2(x) (производная тангенса) Таким образом, производная функции tg^4(3x) будет: f'(3x) = 4tg^3(3x) * (tg(3x))' = 4tg^3(3x) * sec^2(3x) * 3 = 12tg^3(3x) * sec^2(3x).

2. Найдем производную функции arctg(7x)^2: Для этой функции мы также можем использовать правило производной сложной функции. Пусть f(x) = arctg(x), а g(x) = 7x. Тогда производная f'(x) = (arctg(x))' и g'(x) = 7.

(arctg(x))' = 1 / (1 + x^2) (производная арктангенса) Таким образом, производная функции arctg(7x)^2 будет: f'(7x) = (arctg(7x))' = 1 / (1 + (7x)^2) * 7 = 7 / (1 + 49x^2).

Теперь мы можем найти производную произведения этих двух функций, используя правило производной произведения:

y' = (tg^4(3x) * arctg(7x)^2)' = (tg^4(3x))' * arctg(7x)^2 + tg^4(3x) * (arctg(7x)^2)'.

Подставим значения производных, которые мы нашли ранее:

y' = 12tg^3(3x) * sec^2(3x) * arctg(7x)^2 + tg^4(3x) * (7 / (1 + 49x^2)).

Вот итоговая производная функции y = tg^4(3x) * arctg(7x)^2:

y' = 12tg^3(3x) * sec^2(3x) * arctg(7x)^2 + (7tg^4(3x)) / (1 + 49x^2).