Question

Для сигнализации о незаконном проникновении на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет p1, для второго и третьего устройства эти вероятности соответственно равны p2 и p3. Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа работающих устройств –и найти его основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.Если p1=0.7, p2=0.9, p3=0.6

Answer 1

Ответ:

Xi       0            1              2             3

Pi    0,012    0,154      0,456      0,378

M[X]=2,2; D{X]=0,54; σ[X]=√0,54≈0,735.

Пошаговое объяснение:

Случайная величина X - число сработавших устройств - может принимать  значения 0, 1, 2 и 3. Найдём соответствующие вероятности:

p0=(1-p1)*(1-p2)*(1-p3)=0,3*0,1*0,4=0,012;

p1=p1*(1-p2)*(1-p3)+(1-p1)*p2*(1-p3)+(1-p1)*(1p2)*p3=0,7*0,1*0,4+0,3*0,9*0,4+0,3*0,1*0,6=0,154;

p2=p1*p2*(1-p3)+p1*(1-p2)*p3+(1-p1)*p2*p3=0,7*0,9*0,4+0,7*0,1*0,6+0,3*0,9*0,6=0,456;

p3=p1*p2*p3=0,7*0,9*0,6=0,378.

Проверка: p0+p1+p2+p3=1 - значит, вероятности найдены верно.

Составляем закон распределения случайной величины X:

Xi       0            1              2             3

Pi    0,012    0,154      0,456      0,378

Математическое ожидание M[X]=∑Xi*Pi=0*0,012+1*0,154+2*0,456+3*0,378=2,2

Дисперсия D{X]=∑(Xi-M[X])²*Pi=(0-2,2)²*0,012+(1-2,2)²*0,154+(2-2,2)²*0,456+(3-2,2)²*0,378=0,54

Среднее квадратическое отклонение σ[X]=√D[X]=√0,54≈0,735.

Answer 2

Для определения закона распределения дискретной случайной величины, представляющей количество работающих устройств, нам нужно рассмотреть все возможные случаи: 0, 1, 2 и 3 работающих устройства. Затем мы найдем вероятность каждого из этих случаев и используем их для расчета основных числовых характеристик.

Пусть X - случайная величина, представляющая количество работающих устройств.

Тогда закон распределения X будет выглядеть следующим образом:

X	0	1	2	3
P(X)	p0	p1	p2	p3

где p0 - вероятность того, что ни одно устройство не сработает, равна (1 - p1) * (1 - p2) * (1 - p3).

Теперь вычислим вероятности для каждого случая:

p0 = (1 - 0.7) * (1 - 0.9) * (1 - 0.6) = 0.1 * 0.1 * 0.4 = 0.004

p1 = p1 * (1 - p2) * (1 - p3) = 0.7 * (1 - 0.9) * (1 - 0.6) = 0.7 * 0.1 * 0.4 = 0.028

p2 = (1 - p1) * p2 * (1 - p3) = (1 - 0.7) * 0.9 * (1 - 0.6) = 0.3 * 0.9 * 0.4 = 0.108

p3 = (1 - p1) * (1 - p2) * p3 = (1 - 0.7) * (1 - 0.9) * 0.6 = 0.3 * 0.1 * 0.6 = 0.018

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание (среднее), дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание E(X):

E(X) = Σ (Xi * P(Xi)) = 0 * p0 + 1 * p1 + 2 * p2 + 3 * p3

E(X) = 0 * 0.004 + 1 * 0.028 + 2 * 0.108 + 3 * 0.018

E(X) = 0 + 0.028 + 0.216 + 0.054

E(X) = 0.298

Дисперсия Var(X):

Var(X) = Σ [(Xi - E(X))^2 * P(Xi)] = (0 - E(X))^2 * p0 + (1 - E(X))^2 * p1 + (2 - E(X))^2 * p2 + (3 - E(X))^2 * p3

Var(X) = (0 - 0.298)^2 * 0.004 + (1 - 0.298)^2 * 0.028 + (2 - 0.298)^2 * 0.108 + (3 - 0.298)^2 * 0.018

Var(X) = 0.088804 * 0.004 + 0.490084 * 0.028 + 1.693204 * 0.108 + 8.187204 * 0.018

Var(X) = 0.000355216 + 0.013723352 + 0.183005232 + 0.147370872

Var(X) = 0.344454672

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X):

σ(X) = √Var(X) = √0.344454672 ≈ 0.586946973

Таким образом, закон распределения случайной величины X (числа работающих устройств) будет:

X	0	1	2	3
P(X)	0.004	0.028	0.108	0.018

Математическое ожидание (среднее) E(X) ≈ 0.298

Дисперсия Var(X) ≈ 0.344454672

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X) ≈ 0.586946973