Question

Вычислить тройной интеграл ///2х(у^2)zdxdydzV:. 0=х=3-2=у=31=z=2( знак "=" означает символ "меньше или равно")l

Answer 1

Так как x, y, z - независимые переменные, то тройной интеграл есть произведение трех интегралов:

$\int \int \int {2x y^2 z} \, dx \, dy \, dz = 2 \int\limits^3_0 {x} \, dx \int\limits^{3}_{-2} {y^2} \, dy \int\limits^2_1 {z} \, dz = 2 \frac{(3^2-0^2)}{2}\frac{(3^3-(-2)^3)}{3}\frac{(2^2-1^2)}{2}=2\frac{9}{2}\frac{35}{3}\frac{3}{2} = \frac{315}{2}$

Answer 2

Для вычисления тройного интеграла, который вы предоставили, необходимо применить метод последовательных интегрирований. Давайте пошагово проинтегрируем функцию по каждой переменной.

Итак, начнем с первого шага, где мы будем интегрировать по переменной x от 0 до 2:

∫(0 to 2) 2xy^2 dzdy

Далее, переходим ко второму шагу, где интегрируем полученное выражение по переменной y от х до 3:

∫(x to 3) ∫(0 to 2) 2xy^2 dzdy

И, наконец, на последнем шаге интегрируем по переменной z от 0 до 2:

∫(0 to 2) ∫(x to 3) ∫(0 to 2) 2xy^2 dzdy

Теперь можем произвести вычисления:

∫(0 to 2) 2xy^2 dz = 2xyz ∣(0 to 2) = 4xy(x-0) = 4x^2y

Теперь мы можем записать наш тройной интеграл в виде:

∫(0 to 2) ∫(x to 3) 4x^2y dydx

Проинтегрируем по y:

∫(x to 3) 4x^2y dy = 2x^2y^2 ∣(x to 3) = 2x^2(3)^2 - 2x^2(x)^2 = 18x^2 - 2x^4

Теперь мы можем записать наш тройной интеграл в виде:

∫(0 to 2) (18x^2 - 2x^4) dx

Проинтегрируем по x:

∫(0 to 2) (18x^2 - 2x^4) dx = 6x^3 - (2/5)x^5 ∣(0 to 2) = 6(2)^3 - (2/5)(2)^5 - 6(0)^3 + (2/5)(0)^5 = 48 - (64/5) = 240/5 - 64/5 = 176/5

Таким образом, значение тройного интеграла равно 176/5.