Question

Исследуйте функцию f (x)=1/4x4-x2+5 на максимум и минимум

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию f(x) = (1/4)x^4 - x^2 + 5 на максимум и минимум, нам нужно вычислить ее производную и найти точки, где производная равна нулю или не существует. Затем мы проверим значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами.

1. Вычислим производную функции f(x): f'(x) = 4(1/4)x^3 - 2x = x^3 - 2x.

2. Найдем точки, где производная равна нулю: x^3 - 2x = 0.

Мы можем разложить это уравнение следующим образом: x(x^2 - 2) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = ±√2.

3. Проверим вторую производную: f''(x) = (x^3 - 2x)' = 3x^2 - 2.

4. Определим характер точек, используя вторую производную:

• Для x = 0, f''(0) = -2 < 0. Это значит, что x = 0 является локальным максимумом.
• Для x = ±√2, f''(±√2) = 6 - 2(2) = 2 > 0. Это означает, что x = ±√2 являются локальными минимумами.

Таким образом, функция f(x) = (1/4)x^4 - x^2 + 5 имеет локальный максимум в точке x = 0 и локальные минимумы в точках x = ±√2.