Question

Исследуйте на максимум и минимум функцию. мне нужно расписать так чтоб я смог объяснить ей как я это сделал, выручите плз y=1/3x^3-x^2-3x+1/3

Answer 1

Первоначально определяем ОДЗ данной функции: х € R;

y= 1/3x^3 - x^2 - 3x +1/3

Находим производную данной функции:

y'= x^2-2x-3

Приравниваем её к нулю:

x^2-2x-3= 0

D/4= 1+3= 4

x(1,2)= 1±2/1= - 1;3;

3.Определяем поведение функции(промежутки возрастания/убывания)

От (-∞;-1) производная положительна => функция возрастает.

От [-1;3] производная отрицательна, значит функция убывает.

От (3;+∞) производная положительна, значит функция возрастает.

Точка -1 является точкой максимума (функция ↑, а потом ↓), а 3 - минимума ( функция ↓, а потом ↑).

Answer 2

Exploring the Function y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3)

To find the maximum and minimum of the function y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3), we can use calculus to locate the critical points and determine whether they correspond to maximum or minimum values.

Calculating the Derivative

The first step is to find the derivative of the function y with respect to x. The derivative will help us identify the critical points where the function's slope is zero.

The derivative of y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3) is: ``` y' = x^2 - 2x - 3 ```

Finding Critical Points

To find the critical points, we set the derivative equal to zero and solve for x: ``` x^2 - 2x - 3 = 0 ``` Using the quadratic formula, we find the solutions for x: ``` x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4*1*(-3))) / (2*1) x = (2 ± √(4 + 12)) / 2 x = (2 ± √16) / 2 x = (2 ± 4) / 2 x = 3 or x = -1 ``` So, the critical points are x = 3 and x = -1.

Determining Maximum and Minimum

To determine whether these critical points correspond to a maximum or minimum, we can use the second derivative test. The second derivative of y is: ``` y'' = 2x - 2 ``` Substituting the critical points into the second derivative: ``` y''(3) = 2*3 - 2 = 6 - 2 = 4 (positive, indicating a minimum) y''(-1) = 2*(-1) - 2 = -2 - 2 = -4 (negative, indicating a maximum) ``` Therefore, at x = 3, the function has a minimum, and at x = -1, the function has a maximum.

Conclusion

In conclusion, the function y = (1/3)x^3 - x^2 - 3x + (1/3) has a minimum at x = 3 and a maximum at x = -1.