Question

1.Найдите неопределённый интеграл 5dx/x^2 2.Вычислите интеграл x^3dx от 2/3 до 1 3.Вычислите интеграл dx/x^2 от 1 до 3 Если можно,то с развёрнутым решением,буду благодарен!

Answer 1

1. $\int{\frac{5}{x^2}} \, dx = 5 \int{\frac{1}{x^2}} \, dx = 5 \int{x^{-2}} \, dx = 5 \frac{x^{-1}}{-1} + C= -\frac{5}{x} + C$

2. $\int\limits^1_\frac{2}{3} {x^3} \, dx = \frac{x^4}{4} |_{\frac{2}{3}}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(\frac{2}{3})^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{2^4}{3^4\cdot 4} = \frac{1}{4} - \frac{4}{81} = \frac{81}{324} - \frac{16}{324} = \frac{65}{324}$

3. $\int\limits^3_1 {\frac{1}{x^2}} \, dx = \int\limits^3_1 {x^{-2}} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} |_{1}^{3}= -\frac{1}{x} |_{1}^{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Answer 2

1. Найдём неопределённый интеграл ∫(5dx/x^2):

∫(5dx/x^2) = 5 ∫(dx/x^2)

Мы знаем, что ∫(dx/x^2) = -1/x + C, где C - произвольная постоянная.

Поэтому:

∫(5dx/x^2) = 5 * (-1/x) + C = -5/x + C

Таким образом, неопределённый интеграл ∫(5dx/x^2) равен -5/x + C.

2. Вычислим определённый интеграл ∫(x^3dx) от 2/3 до 1:

∫(x^3dx) от 2/3 до 1 = [1/4 * x^4] от 2/3 до 1

Подставим верхний предел (1):

[1/4 * 1^4] - [1/4 * (2/3)^4]

= 1/4 - 16/108

= 1/4 - 2/27

= (27 - 8) / (108)

= 19 / 108

Таким образом, значение определённого интеграла ∫(x^3dx) от 2/3 до 1 равно 19/108.

3. Вычислим определённый интеграл ∫(dx/x^2) от 1 до 3:

∫(dx/x^2) от 1 до 3 = [-1/x] от 1 до 3

Подставим верхний предел (3):

[-1/3] - [-1/1]

= -1/3 + 1

= 1 - 1/3

= 2/3

Таким образом, значение определённого интеграла ∫(dx/x^2) от 1 до 3 равно 2/3.