Question

Найти ожидание для значения X, распределенного непрерывно с плотностью f (x) = 12 * (x * x - x * x * x) для x лежащих (0,1) и f (x) = 0 в других точках

Answer 1

Математическое ожидание непрерывной случайной величины $X:$

$\displaystyle MX=\int\limits^1_0 x f(x)dx=\int\limits^1_012x\Big(x^2-x^3\Big)dx=12\int\limits^1_0\Big(x^3-x^4\Big)dx=\\ \\ \\ =12\cdot \left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^5}{5}\right)\Bigg|^1_0=12\cdot \left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)=12\cdot \dfrac{5-4}{4\cdot 5}=\dfrac{3}{5}$

Answer 2

Для непрерывно распределенной случайной величины X ожидание (или математическое ожидание) вычисляется как интеграл произведения значения X на его плотность вероятности f(x) по всем возможным значениям X.

В данном случае, плотность вероятности f(x) задана двумя разными выражениями в разных интервалах (0, 1) и остальной области:

1. В интервале (0, 1): f(x) = 12 * (x^2 - x^3) для 0 < x < 1
2. В остальной области: f(x) = 0 для x <= 0 и x >= 1

Чтобы найти ожидание для X, нужно выполнить следующий интеграл:

E(X) = ∫[от 0 до 1] x * f(x) dx

Подставим значение f(x):

E(X) = ∫[от 0 до 1] x * (12 * (x^2 - x^3)) dx

Теперь рассчитаем данный интеграл:

E(X) = ∫[от 0 до 1] (12x^3 - 12x^4) dx

Чтобы проинтегрировать это выражение, найдем первообразную каждого слагаемого и подставим пределы интегрирования:

E(X) = [3x^4 - (12/5)x^5] от 0 до 1

Вычислим значения первообразной при пределах интегрирования:

E(X) = (3 * 1^4 - (12/5) * 1^5) - (3 * 0^4 - (12/5) * 0^5)

E(X) = (3 - 12/5) - (0 - 0) = (15/5 - 12/5) = 3/5

Таким образом, ожидание для случайной величины X, заданной плотностью f(x) на интервале (0, 1) равно 3/5.