Question

. Решите уравнение: a) sin x = √3/2б) 2 cos 3x = √3Решите неравенство:cos x < 1/2- Решите уравнение:а) 2 sin² x + sin x — 1 =0б) 6 cos²x+7 sin x — 8 = 0

Answer 1

Ответ:

В фото

Пошаговое объяснение:

Answer 2

a) Решим уравнение sin x = √3/2:

sin x = √3/2

На единичной окружности значение синуса равно y-координате точки пересечения луча из начала координат с окружностью. Для синуса это значение будет равно √3/2 при угле 60°. Однако синус периодичен и повторяется через каждые 360°.

Таким образом, решениями уравнения будут все углы, для которых sin x равен √3/2. Это происходит в двух точках на интервале [0, 2π]:

x₁ = π/3 (60°) и x₂ = 2π - π/3 = 5π/3 (300°).

Ответ: x = π/3 и x = 5π/3.

б) Решим уравнение 2 cos 3x = √3:

cos 3x = √3/2

Находим угол, для которого косинус равен √3/2. Это происходит при углах 30° и 330° на интервале [0, 2π].

Однако тут возникает ограничение: у нас уравнение 3x = 30° + 360°k или 3x = 330° + 360°k, где k - целое число, чтобы учесть все периодические решения. Таким образом:

3x₁ = 30° + 360°k ⇒ x₁ = 10° + 120°k

3x₂ = 330° + 360°k ⇒ x₂ = 110° + 120°k

Ответ: x = 10° + 120°k и x = 110° + 120°k, где k - целое число.

Вторая часть:

Решите неравенство: cos x < 1/2

На единичной окружности значение косинуса равно x-координате точки пересечения луча из начала координат с окружностью. Значение косинуса меньше 1/2 в двух интервалах на окружности.

Первый интервал: от 60° до 300° (или от π/3 до 5π/3).

Второй интервал: от 420° до 660° (или от 7π/3 до 11π/3).

Учитывая периодичность косинуса, ответом будет:

x ∈ (π/3, 5π/3) U (7π/3, 11π/3).

Третья часть:

а) Решим уравнение 2 sin² x + sin x - 1 = 0:

Заменим sin x = t, тогда уравнение примет вид 2t² + t - 1 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = 1² - 42(-1) = 9.

t₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √9) / (2*2) = 1.

t₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √9) / (2*2) = -1.

Возвращаемся к sin x:

a) sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πk

b) sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πk.

Ответ: x = π/2 + 2πk и x = -π/2 + 2πk, где k - целое число.

б) Решим уравнение 6 cos²x + 7 sin x - 8 = 0:

Заменим cos x = t, тогда уравнение примет вид 6t² + 7t - 8 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = 7² - 46(-8) = 199.

t₁ = (-b + √D) / (2a) = (-7 + √199) / (2*6).

t₂ = (-b - √D) / (2a) = (-7 - √199) / (2*6).

Возвращаемся к cos x:

a) cos x = t₁

b) cos x = t₂

Теперь найдем все углы, для которых косинус равен этим значениям:

a) x = arccos(( -7 + √199) / 12) + 2πk, где k - целое число.

b) x = arccos(( -7 - √199) / 12) + 2πk, где k - целое число.

Ответ: x = arccos(( -7 + √199) / 12) + 2πk и x = arccos(( -7 - √199) / 12) + 2πk, где k - целое число.