Question

А)6 sin2x - 3 sinx • cosx - cos2x = 1 б)5 sin2x + 3 sinx • cosx - 2 cos2x =3в)sin2 3x + sin2 4x + sin2 6x + sin2 7x =2Помогите пожалуйста хоть кто-нибудь!!!

Answer 1

Решение уравнений:

а) 6 sin(2x) - 3 sin(x) • cos(x) - cos(2x) = 1

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и методы решения уравнений.

Применим следующие тождества: - sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) - cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Заменим sin(2x) и cos(2x) в исходном уравнении: 6(2 sin(x) cos(x)) - 3 sin(x) • cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = 1

Раскроем скобки и упростим уравнение: 12 sin(x) cos(x) - 3 sin(x) • cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 1 (12 - 3) sin(x) cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 1 9 sin(x) cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Теперь мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить sin^2(x) и cos^2(x): 9 sin(x) cos(x) - (1 - sin^2(x)) + sin^2(x) = 1 9 sin(x) cos(x) - 1 + sin^2(x) + sin^2(x) = 1 9 sin(x) cos(x) + 2 sin^2(x) - 1 = 1

Упростим уравнение: 9 sin(x) cos(x) + 2 sin^2(x) = 2

Теперь мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x): 9 sin(x) cos(x) + 2 (1 - cos^2(x)) = 2 9 sin(x) cos(x) + 2 - 2 cos^2(x) = 2 9 sin(x) cos(x) - 2 cos^2(x) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его: 9 sin(x) cos(x) - 2 cos^2(x) = 0 2 cos^2(x) - 9 sin(x) cos(x) = 0 cos(x) (2 cos(x) - 9 sin(x)) = 0

Из этого уравнения следует, что либо cos(x) = 0, либо 2 cos(x) - 9 sin(x) = 0.

Если cos(x) = 0, то sin(x) ≠ 0, так как sin(x) = 0 приведет к делению на ноль в уравнении 2 cos(x) - 9 sin(x) = 0. Таким образом, мы можем рассмотреть только случай cos(x) = 0.

Если cos(x) = 0, то x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число.

Таким образом, решение уравнения 6 sin(2x) - 3 sin(x) • cos(x) - cos(2x) = 1 будет состоять из всех значений x, которые удовлетворяют условию cos(x) = 0, то есть x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число.

б) 5 sin(2x) + 3 sin(x) • cos(x) - 2 cos(2x) = 3

Для решения данного уравнения, мы также можем использовать тригонометрические тождества и методы решения уравнений.

Применим следующие тождества: - sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) - cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Заменим sin(2x) и cos(2x) в исходном уравнении: 5(2 sin(x) cos(x)) + 3 sin(x) • cos(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = 3

Раскроем скобки и упростим уравнение: 10 sin(x) cos(x) + 3 sin(x) • cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 3 (10 + 3) sin(x) cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 3 13 sin(x) cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 3

Теперь мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить sin^2(x) и cos^2(x): 13 sin(x) cos(x) - (1 - sin^2(x)) + sin^2(x) = 3 13 sin(x) cos(x) - 1 + sin^2(x) + sin^2(x) = 3 13 sin(x) cos(x) + 2 sin^2(x) - 1 = 3

Упростим уравнение: 13 sin(x) cos(x) + 2 sin^2(x) = 4

Теперь мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x): 13 sin(x) cos(x) + 2 (1 - cos^2(x)) = 4 13 sin(x) cos(x) + 2 - 2 cos^2(x) = 4 13 sin(x) cos(x) - 2 cos^2(x) = 2

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его: 13 sin(x) cos(x) - 2 cos^2(x) = 2 2 cos^2(x) - 13 sin(x) cos(x) = -2 cos(x) (2 cos(x) - 13 sin(x)) = -2

Из этого уравнения следует, что либо cos(x) = 0, либо 2 cos(x) - 13 sin(x) = -2.

Если cos(x) = 0, то sin(x) ≠ 0, так как sin(x) = 0 приведет к делению на ноль в уравнении 2 cos(x) - 13 sin(x) = -2. Таким образом, мы можем рассмотреть только случай cos(x) = 0.

Если cos(x) = 0, то x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число.

Таким образом, решение уравнения 5 sin(2x) + 3 sin(x) • cos(x) - 2 cos(2x) = 3 будет состоять из всех значений x, которые удовлетворяют условию cos(x) = 0, то есть x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число.

в) sin^2(3x) + sin^2(4x) + sin^2(6x) + sin^2(7x) = 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и методы решения уравнений.

Применим следующее тождество: - sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Заменим sin^2(3x), sin^2(4x), sin^2(6x) и sin^2(7x) в исходном уравнении: sin^2(3x) + sin^2(4x) + sin^2(6x) + sin^2(7x) = 2

Заменим каждый sin^2(x) на 1 - cos^2(x): (1 - cos^2(3x)) + (1 - cos^2(4x)) + (1 - cos^2(6x)) + (1 - cos^2(7x)) = 2

Раскроем скобки и упростим уравнение: 1 - cos^2(3x) + 1 - cos^2(4x) + 1 - cos^2(6x) + 1 - cos^2(7x)