Question

Найти интеграл sin^5xdx (заменить переменную t=cosx)​

Answer 1

$\int sin^5x\, dx=\int (sin^2x)^2\cdot sinx\, dx=-\int (1-cos^2x)^2\cdot d(cosx)=\\\\=-\int (1-2cos^2x+cos^4x)\cdot d(cosx)=\\\\=-cosx+\dfrac{2\, cos^3x}{3}-\dfrac{cos^5x}{5}+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться заменой переменных. Пусть $t = \cos(x)$, тогда $dt = -\sin(x)dx$. Заменив переменные в интеграле, получим:

$\int \sin^5(x)dx = \int \sin^4(x) \sin(x) dx = \int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) dx$

Теперь заменим $\sin(x)$ на $-dt$ и $\cos^2(x)$ на $1 - t^2$:

$\int (1 - \cos^2(x))^2 \sin(x) dx = \int (1 - (1 - t^2))^2 (-dt) = \int t^4 dt = \frac{t^5}{5} + C$

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получим:

$\int \sin^5(x)dx = \frac{\cos^5(x)}{5} + C$