Question

Вычислить производную sin(6x^2 - 5x - 1) и найти её значение в точке -1/6

Answer 1

$\frac{d( \sin(6 {x}^{2} - 5x - 1 ) )}{dx} = \cos(6x {}^{2} - 5x - 1) \times \frac{d(6x {}^{2} - 5x - 1) }{dx} = (12x - 5)( \cos(6x {}^{2} - 5x - 1 ) ) \\ x = - \frac{ 1}{6} \\(12 \times ( - \frac{ 1}{6} ) - 5)( \cos(( \frac{ - 1}{6} ) {}^{2} - 5 \times ( - \frac{1}{6} ) - 1) = - 7 \cos(0) = - 7 \times 1 = - 7$

Answer 2

Давайте начнем с вычисления производной функции $f(x) = \sin(6x^2 - 5x - 1)$ по переменной $x$. Для этого нам понадобится применить цепное правило дифференцирования и правило дифференцирования композиции функций.

Пусть $u = 6x^2 - 5x - 1$, тогда $\frac{du}{dx} = 12x - 5$. Затем мы берем производную $\sin(u)$ по переменной $u$, которая равна $\cos(u)$. Теперь мы можем применить цепное правило:

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(6x^2 - 5x - 1) \cdot (12x - 5)$.

Теперь, чтобы найти значение производной в точке $x = -1/6$, мы можем подставить этот $x$ в выражение для производной:

$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=-1/6} = \cos\left(6\left(-\frac{1}{6}\right)^2 - 5\left(-\frac{1}{6}\right) - 1\right) \cdot \left(12\left(-\frac{1}{6}\right) - 5\right)$.

Давайте теперь вычислим это значение:

$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=-1/6} = \cos\left(\frac{1}{6} - \frac{5}{6} - 1\right) \cdot \left(-2 - 5\right) = \cos\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot (-7)$.

Поскольку $\cos\left(-\frac{5}{6}\right)$ равен $\cos\left(\frac{5}{6}\right)$ (косинус является четной функцией), мы можем вычислить приближенное значение $\cos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 0.866$ (по таблицам или калькулятору).

Теперь умножим это на $-7$:

$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=-1/6} \approx 0.866 \cdot (-7) \approx -6.062$.

Итак, производная функции $\sin(6x^2 - 5x - 1)$ в точке $x = -1/6$ примерно равна $-6.062$.