Question

Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов программы. На экзамене ему нужно ответить на три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент ответит только на один из них; б) студент ответит на все вопросы.

Answer 1

а) Количество всевозможных исходов: $C^3_{20}=\dfrac{20!}{3!17!}=1140$ из них благоприятных исходов $C^1_{15}\cdot C^2_5=15\cdot \dfrac{5!}{2!3!}=15\cdot 10=150$

Искомая вероятность: $P=\dfrac{150}{1140}=\dfrac{5}{38}$

б) $C^3_{15}=\dfrac{15!}{3!12!}=455$ способами студент ответит на все три вопросы правильно. Искомая вероятность: $P=\dfrac{455}{1140}=\dfrac{91}{228}$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся формулой для вычисления вероятности события. В данном случае, вероятность будет равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Пусть:

• n - количество вопросов, на которые студент знает ответы (15)
• N - общее количество вопросов (20)
• k - количество вопросов, на которые студент должен ответить на экзамене (3)

Тогда:

• Вероятность того, что студент ответит только на один из них (a), можно разбить на два случая: ответить на первый вопрос и не ответить на оставшие два, или не ответить на первый и ответить на два оставшихся. Формула для этого случая:

P(a) = C(n, 1) * C(N - n, k - 1) / C(N, k)

Где C(n, k) обозначает число сочетаний из n по k.

• Вероятность того, что студент ответит на все вопросы (б):

P(б) = C(n, k) / C(N, k)

Подставив значения в формулы (n=15, N=20, k=3), мы можем вычислить вероятности для обоих случаев.

Для вероятности a): P(a) = C(15, 1) * C(20 - 15, 3 - 1) / C(20, 3) P(a) = 15 * 2 / 1140 ≈ 0.2632 (приближенно)

Для вероятности б): P(б) = C(15, 3) / C(20, 3) P(б) = 455 / 1140 ≈ 0.3991 (приближенно)

Итак, ответы: а) Вероятность того, что студент ответит только на один из вопросов, составляет примерно 0.2632 или около 26.32%. б) Вероятность того, что студент ответит на все вопросы, составляет примерно 0.3991 или около 39.91%.