Question

Y=-x^2+3, y=2x вычислите площадь фигуры ограниченной линиями

Answer 1

Ответ: S=10,667 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

y=-x²+3      y=2x      S=?

-x²+3=2x

x²+2x-3=0    D=16       √D=4

x₁=-3       x₂=1

S=₋₃¹(-x²+3-2x)dx=(-x³/3)+3x-x²  ₋₃|¹=(-1³/3)+3*1-1²-(-(-3)³/3+3*(-3)-(-3)²=

=(-1/3)+3-1-(9-9-9)=1²/₃-(-9)=1²/₃+9=10²/₃.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной линиями $y = -x^2 + 3$ и $y = 2x$, необходимо найти точки их пересечения. Пересечение происходит, когда $y$ из обоих уравнений равны друг другу:

$-x^2 + 3 = 2x$

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

$-x^2 - 2x + 3 = 0$

Теперь нам нужно найти корни этого квадратного уравнения. Решим его с помощью квадратного корня:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Используем квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ и формулу дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, чтобы найти корни:

$a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3$ $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

Таким образом, получаем два значения $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Подставляем эти значения $x$ в уравнение $y = -x^2 + 3$ для получения соответствующих $y$-координат:

При $x = 1$: $y = -1^2 + 3 = 2$ При $x = -3$: $y = -(-3)^2 + 3 = -6 + 3 = -3$

Таким образом, точки пересечения равны $(1, 2)$ и $(-3, -3)$.

Теперь мы можем вычислить площадь между кривыми. Это можно сделать с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-3}^{1} (2x - (-x^2 + 3)) \, dx$

Вычислим интеграл:

$S = \int_{-3}^{1} (2x + x^2 - 3) \, dx = \left[ x^2 + \frac{x^3}{3} - 3x \right]_{-3}^{1}$ $S = \left( 1^2 + \frac{1^3}{3} - 3 \cdot 1 \right) - \left( (-3)^2 + \frac{(-3)^3}{3} - 3 \cdot (-3) \right)$ $S = (1 + \frac{1}{3} - 3) - (9 + \frac{-27}{3} + 9)$ $S = (-\frac{5}{3}) - (-3) = \frac{4}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = -x^2 + 3$ и $y = 2x$, равна $\frac{4}{3}$ квадратных единиц.