Question

При делении одного и того же числа на 6 и 4 получаются одни и те же ненулевые остатки. Найдите самое маленькое такое число, большее шести.

Answer 1

Разложим числа 6 и 4 на простые множители и найдём НОК этих чисел.

6 | 2                      4 | 2

3 | 3                      2 | 2

1                            1

6 = 2 · 3                4 = 2²

НОК (6 и 4) = 2² · 3 = 12 - наименьшее общее кратное

12 + 1 = 13 - самое маленькое число, при делении которого на 6 и 4 получится остаток 1

13 : 6 = 2 (ост. 1)

13 : 4 = 3 (ост. 1)

12 + 2 = 14 - следующее число, при делении которого на 6 и 4 получится остаток 2

12 + 3 = 15 - следующее число (ост. 3)

и т.д.

Ответ: число 13.

Answer 2

Давайте рассмотрим деление числа x на 6 и на 4 с остатками r1 и r2 соответственно:

x = 6k + r1, x = 4m + r2,

где k и m - целые числа, а r1 и r2 - остатки. У нас есть условие, что r1 = r2. Подставив r1 вместо r2, мы получим:

x = 4m + r1.

Таким образом, число x можно представить в виде x = 4m + r1 и x = 6k + r1.

Мы ищем наименьшее такое число x, которое больше 6. Давайте начнем с x = 7 и проверим, удовлетворяет ли оно условиям:

7 = 6k + r1, r1 = 7 - 6k, 7 = 4m + r1.

Теперь подставляем r1:

7 = 4m + (7 - 6k), 6k = 4m.

Это уравнение не имеет целочисленных решений для k и m, так как 6 и 4 не имеют общего делителя больше 2. Таким образом, 7 не подходит.

Продолжим проверять числа. Попробуем x = 8:

8 = 6k + r1, r1 = 8 - 6k, 8 = 4m + r1.

Подставляем r1:

8 = 4m + (8 - 6k), 6k = 4m + 8 - 8, 6k = 4m.

Это уравнение также не имеет целочисленных решений для k и m, так как 6 и 4 не имеют общего делителя больше 2.

Продолжая аналогично, мы можем попробовать x = 9:

9 = 6k + r1, r1 = 9 - 6k, 9 = 4m + r1.

Подставляем r1:

9 = 4m + (9 - 6k), 6k = 4m + 9 - 9, 6k = 4m.

Это уравнение тоже не имеет целочисленных решений.

Попробуем x = 10:

10 = 6k + r1, r1 = 10 - 6k, 10 = 4m + r1.

Подставляем r1:

10 = 4m + (10 - 6k), 6k = 4m + 10 - 10, 6k = 4m.

Таким образом, наименьшее подходящее число x равно 10.