Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!На координатной плоскости отмечены точки O(0;0), A(5;0), B(0;4). Прямая y=kx+b такова, что для любой точки M на этой прямой площадь AOBM равна 20. Чему равно k? ​

Answer 1

Прямая проходящая через точки A, B имеет уравнение:

y=ax+t, подставим координаты точек чтобы найти уравнение в явном виде.

4=a·o+t ⇒ t=4; 0=a·5+t ⇒ a=-4/5=-0,8

Исходя из последовательности вершин четырёхугольника, получаем, что координаты M(x;y) удовлетворяют неравенству y≥-0,8x+4.

Заметим, что S(AOBM) = S(AOB)+S(BMA), при этом S(AOBM)=20, S(AOB)=AO·OB/2=10.

Тогда S(BMA)=10.

Поскольку площадь треугольника постоянная и длина стороны AB тоже. То высота опущенная из M на AB должна быть постоянной, откуда M лежит на прямой параллельной AB. Тогда угол наклона k равен углу наклона прямой проходящей через точки A, B.

k = -0,8

Ответ: -0,8.

Answer 2

Чтобы найти значение коэффициента наклона $k$ прямой $y = kx + b$, для которой площадь треугольника $AOBM$ будет равна 20, мы можем воспользоваться геометрическим подходом.

Известно, что $O(0,0)$, $A(5,0)$ и $B(0,4)$. Пусть точка $M$ находится на прямой $y = kx + b$, координаты которой будут $M(x, y)$.

Площадь треугольника $AOBM$ можно выразить как половину произведения длин его сторон $AO$ и $BM$, умноженной на синус угла между ними:

$A_{\triangle AOBM} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BM \cdot \sin(\angle AOB)$

Длина стороны $AO$ равна $5$, длина стороны $BM$ равна $\sqrt{x^2 + y^2}$, а синус угла $\angle AOB$ можно найти как отношение высоты $y$ к гипотенузе $\sqrt{x^2 + y^2}$:

$\sin(\angle AOB) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

Подставляя все в формулу площади треугольника и приравнивая её к 20:

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 20$

Упрощая:

$5y = 40$

$y = 8$

Теперь у нас есть координата $y$ точки $M$. Мы также знаем, что $M$ лежит на прямой $y = kx + b$, поэтому мы можем подставить $y$ и $x$ в уравнение прямой и решить его относительно $k$:

$8 = kx + b$

Так как точка $B$ лежит на прямой, мы можем подставить её координаты $(0,4)$:

$4 = b$

Таким образом, уравнение прямой примет вид:

$y = kx + 4$

Подставляя $y = 8$, получаем:

$8 = kx + 4$

$kx = 4$

$k = \frac{4}{x}$

Так как $x$ может быть любым, $k$ будет иметь бесконечное множество значений.