Question

Оценим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 300 раз относительная частота появления шести очков отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,01.​

Answer 1

Ответ: ≈0,3544.

Пошаговое объяснение:

Пусть p* относительная частота выпадения шести очков. Так как броски кости являются независимыми событиями, а вероятность появления шести очков при каждом броске p одинакова (p=1/6), то броски кости являются испытаниями, проводимыми по "схеме Бернулли." А в этом случае искомая вероятность P≈2*Ф*{ε*√[n/(p*q)]}, где Ф - функция Лапласа, ε=0,01, n=300, p=1/6, q=1-p=5/6. Отсюда P≈2*Ф(0,46)=2*0,1772=0,3544.

Answer 2

Для оценки вероятности такого события мы можем использовать Закон больших чисел. Согласно этому закону, с увеличением числа независимых испытаний вероятность того, что относительная частота будет отклоняться от вероятности события, уменьшается.

Пусть p - вероятность выпадения шести очков при подбрасывании игральной кости (p = 1/6, так как есть одна шестерка на шесть возможных исходов).

Дисперсия для броска игральной кости равна p * (1 - p) = (1/6) * (5/6) = 5/36.

Дисперсия для 300 бросков равна 300 * (5/36) = 125/6.

Стандартное отклонение (σ) равно квадратному корню из дисперсии, то есть sqrt(125/6).

Таким образом, чтобы отклонение относительной частоты от вероятности события не превышало 0,01, мы можем использовать неравенство Чебышева:

P(|X - μ| < kσ) ≥ 1 - 1/k²,

где X - случайная величина (относительная частота), μ - математическое ожидание (вероятность события), σ - стандартное отклонение, k - коэффициент.

Давайте выберем k так, чтобы вероятность отклонения была не менее 1 - 0,01² = 0,9999. Таким образом, k = 100.

P(|X - p| < 100 * (sqrt(125/6))) ≥ 0.9999.

Теперь мы можем подставить значения и рассчитать:

P(|X - 1/6| < 100 * (sqrt(125/6))) ≥ 0.9999.

Это означает, что вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности события не более чем на 0,01 при 300 бросках игральной кости, составляет не менее 0,9999, или 99.99%.

Таким образом, можно сказать, что вероятность такого незначительного отклонения от вероятности события при подбрасывании игральной кости 300 раз очень высока.