Question

Вероятность появления события А при каждом испытании равна 0,7. Сколько раз достаточно повторить испытание, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что относительная частота появления события А отклонится от вероятности события А не более, чем на 0,05? Ответ: не менее 228 раз. Нужно решение!

Answer 1

$P\Big\{\Big|\dfrac{m}{n}-p\Big|$

Вероятность успеха в одном испытании p = 0,7, тогда q = 1-p = 0,3.

По условию, нужно определить n из неравенства $2F\Big(\varepsilon\sqrt{\dfrac{n}{pq}}\Big)\geq 0{,}9$ или $F\Big(\varepsilon\sqrt{\dfrac{n}{pq}}\Big)\geq 0{,}45$

По таблице Лапласа: $x=\varepsilon\sqrt{\dfrac{n}{pq}}\geq 1{,}648$

$0{,}05\cdot \sqrt{\dfrac{n}{0{,}7\cdot 0{,}3}}\geq 1{,}648~~\Rightarrow~~ n\geq 228{,}14$

То есть, не менее 228 раз достаточно повторить, что с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что относительная частота появления события А отклонится от вероятности события А не более, чем на 0,05

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева гласит:

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2},$

где:

• $P(|X - \mu| \geq k\sigma)$ - вероятность отклонения случайной величины $X$ от её среднего значения $\mu$ более чем на $k$ стандартных отклонений $\sigma$.
• $k$ - положительное число.
• $\sigma$ - стандартное отклонение случайной величины $X$.

В данной задаче:

• $X$ - это относительная частота появления события $A$ в серии испытаний.
• $\mu$ - вероятность появления события $A$ при каждом испытании, которая равна $0.7$.
• $\sigma$ - стандартное отклонение относительной частоты, которое можно вычислить как $\sqrt{\frac{pq}{n}}$, где $p$ - вероятность события $A$ ($0.7$), $q$ - вероятность противоположного события ($1 - p = 0.3$), и $n$ - количество испытаний.

Так как мы хотим, чтобы относительная частота отклонилась не более чем на $0.05$ с вероятностью $0.9$, то $k\sigma = 0.05$, и мы хотим, чтобы

$\frac{1}{k^2} \leq 0.1.$

Решая это неравенство, мы получим значение $k$:

$\frac{1}{k^2} \leq 0.1 \implies k^2 \geq \frac{1}{0.1} \implies k^2 \geq 10 \implies k \geq \sqrt{10} \approx 3.16.$

Теперь, зная значение $k$, мы можем использовать неравенство Чебышева, чтобы найти минимальное количество испытаний $n$:

$\frac{1}{k^2} = \frac{1}{(3.16)^2} \leq \frac{1}{10}.$

Теперь мы можем выразить $n$:

$\frac{1}{(3.16)^2} \leq \frac{1}{10} \implies n \geq \frac{1}{(3.16)^2} \times 10 \approx 31.6 \times 10 \approx 316.$

Таким образом, необходимо провести не менее 316 испытаний, чтобы с вероятностью не менее $0.9$ утверждать, что относительная частота появления события $A$ отклонится от вероятности события $A$ не более, чем на $0.05$. Однако, поскольку испытания должны быть целыми числами, округлим это значение вверх до ближайшего целого числа, и получим ответ: не менее 317 испытаний.