Question

1)Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y= -2x^2 +4x , y= -x +2 2)Решите уровнение 5^x+1 -3*5^x-2 =1223)Решите неравнество log8(x^2 - 4x +3) <1

Answer 1

Как то так! Надеюсь понятно!

Answer 2

1. Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, которые будут представлять границы интегрирования. Решим систему уравнений для нахождения точек пересечения:

Система уравнений: y = -2x^2 + 4x y = -x + 2

Приравняем выражения для y: -2x^2 + 4x = -x + 2

Приведем уравнение к квадратному виду: -2x^2 + 5x - 2 = 0

Решим квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*(-2)*(-2) = 25 - 16 = 9

x = (-b ± √D) / (2a) x = (-5 ± √9) / (-4) x = (5 ± 3) / 4

Таким образом, получаем два значения x: x₁ = 2 и x₂ = -1/2.

Теперь вычислим соответствующие значения y, используя уравнение y = -x + 2: Для x₁: y₁ = -2 + 2 = 0 Для x₂: y₂ = 1/2 + 2 = 5/2

Итак, точки пересечения: (2, 0) и (-1/2, 5/2).

Площадь фигуры можно найти как разность интегралов этих функций по x на интервале [x₁, x₂]:

Площадь = ∫[x₁,x₂] (f₁(x) - f₂(x)) dx Площадь = ∫[-1/2,2] ((-2x^2 + 4x) - (-x + 2)) dx Площадь = ∫[-1/2,2] (-2x^2 + 4x + x - 2) dx Площадь = ∫[-1/2,2] (-2x^2 + 5x - 2) dx

Вычислим этот интеграл: Площадь = [-2/3x^3 + 5/2x^2 - 2x] от -1/2 до 2 Площадь = [-2/32^3 + 5/22^2 - 22] - [-2/3(-1/2)^3 + 5/2*(-1/2)^2 - 2*(-1/2)] Площадь = [-16/3 + 20 - 4] - [1/24 - 1/8 + 1] Площадь = -16/3 + 16 + 3/8 Площадь = 3/8

Итак, площадь фигуры ограниченной кривыми y = -2x^2 + 4x и y = -x + 2 равна 3/8.

2. Уравнение: 5^x+1 - 3*5^x-2 = 122 Перепишем это уравнение с общим знаменателем:

5^(x+1) - 3*5^(x-2) = 122

Теперь можно использовать свойство эквивалентности степеней с одинаковой базой. Для этого вынесем общий множитель 5^x из обоих слагаемых:

5^x * 5^1 - 3 * 5^x * 5^(-2) = 122

5^x * 5 - 3 * 5^x * (1/25) = 122

Упростим выражение:

5^x * 5 - 3/25 * 5^x = 122

Теперь вынесем общий множитель 5^x:

5^x * (5 - 3/25) = 122

5^x * (125/25 - 3/25) = 122

5^x * (122/25) = 122

Теперь избавимся от множителя 122/25:

5^x = 122/25

Теперь возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:

x * log(5) = log(122/25)

x = log(122/25) / log(5)

x ≈ 2.35

3. Неравенство: log₈(x² - 4x + 3) < 1 Первым шагом решим уравнение, приравнивая аргумент логарифма к 8^1:

x² - 4x + 3 = 8

x² - 4x - 5 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

x = (-b ± √D) / 2a x = (4 ± √36) / 2 x = (4 ± 6) / 2

x₁ = 5 x₂ = -1

Таким образом, уравнение x² - 4x + 3 = 8 имеет два корня: x₁ = 5 и x₂ = -1.

Теперь мы можем определить интервалы, на которых выражение x² - 4x + 3 является положительным и отрицательным. При этом нам интересно, чтобы выражение было положительным, так как аргумент логарифма должен быть положительным числом:

1. Для x < -1: x² - 4x + 3 > 0
2. Для -1 < x < 5: x² - 4x + 3 < 0
3. Для x > 5: x² - 4x + 3 > 0

Теперь можем запис