Question

Вычислите с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1-x, y=3-2x, x=0

Answer 1

Ответ:

2

Пошаговое объяснение:

Находим точку пересечения графиков

$1-x=3-2x\\x=2$

$f(x)=3-2x-1+x\\F(x)=3x-x^{2}-x+\frac{x^{2}}{2} \\\int\limits^2_0 {(3-2x-1+x)} \, dx =3*2-2^{2}-2+\frac{2^{2}}{2} -(3*0-0^{2}-0+\frac{0^{2}}{2}) =2$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 - x, y = 3 - 2x и x = 0, мы можем использовать определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения этих линий.

Приравняем выражения для y:

1 - x = 3 - 2x

Решим это уравнение:

x = 2

Теперь мы знаем, что точка пересечения линий находится в (2, -1).

Построим график этих линий и определим область, которую нужно интегрировать:

perlCopy code
    |        /
  3 |      /
    |    /
  2 |  /
    |/
  1 +-------------- 
    0   1   2   3   4

Фигура, ограниченная этими линиями, имеет форму треугольника.

Чтобы найти площадь этого треугольника с помощью определенного интеграла, мы интегрируем по оси x от 0 до 2 и используем функцию высоты треугольника, которая равна y = 3 - 2x - (1 - x).

Итак, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[0, 2] (3 - 2x - (1 - x)) dx

Раскроем скобки:

S = ∫[0, 2] (3 - 2x - 1 + x) dx

S = ∫[0, 2] (2 - x) dx

Теперь вычислим определенный интеграл:

S = [2x - (x^2/2)] [0, 2]

S = (2(2) - (2^2/2)) - (2(0) - (0^2/2))

S = (4 - 2) - (0 - 0)

S = 2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 - x, y = 3 - 2x и x = 0, равна 2 единицам квадратным.