Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-5 y=0 x=-3 x=-2

Answer 1

Решение :

Для решения подобных задач часто используют формулу Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b)-F(a)$

Да, мы здесь считаем интеграл для функции $y=5-4x$ (как результат приравнивания $y=4x-5$ и $y=0$). При этом, $a=-3$ и $b=-2$.

$\displaystyle \int\limits^{-2}_{-3} {\Big ( 5-4x \Big)} \, dx = \bigg ( 5x - \frac{4x^2}{2} \bigg ) \Big | ^{-2}_{-3} =\bigg ( 5x-2x^2 \bigg ) \Big | ^{-2}_{-3} =\\\\= \Big ( 2 \cdot (-3)^2 - 5 \cdot (-3) \Big ) - \Big ( 2 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) \Big ) = 33 - 18 = 15$

Таким образом, искомая площадь равна $15$ (ед²).

Но можно было и заметить (смотрите рисунок ниже), что у нас получилась трапеция ("обычная", не "криволинейная"), площадь которой равна $1 \cdot 13 + 4 \cdot 1 / 2 = 13+2 = 15$ ( {площадь четырехугольника} + {площадь треугольника} ).

Ответ :   15 .

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, следует разделить данную фигуру на более мелкие геометрические фигуры, вычислить их площади и затем сложить их вместе.

Первым шагом следует найти точки пересечения данных линий. Подставим значение x из линий y=4x-5 и y=0, чтобы найти точку пересечения с осью x:

1. Для y=0: 0 = 4x - 5
2. Решаем уравнение относительно x: x = 5/4 = 1.25

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты (1.25, 0).

Теперь подставим значение x из линий x=-3 и x=-2 в линию y=4x-5, чтобы найти соответствующие значения y:

1. Для x=-3: y = 4*(-3) - 5 = -12 - 5 = -17
2. Для x=-2: y = 4*(-2) - 5 = -8 - 5 = -13

Итак, вторая и третья точки пересечения имеют координаты (-3, -17) и (-2, -13).

Теперь у нас есть три вершины фигуры: (1.25, 0), (-3, -17) и (-2, -13). Мы можем построить прямоугольник, ограниченный этими вершинами, и вычислить его площадь.

Ширина прямоугольника: 1.25 - (-3) = 4.25 Высота прямоугольника: 0 - (-17) = 17

Площадь прямоугольника: Площадь = ширина × высота = 4.25 × 17 = 72.25

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет 72.25 квадратных единиц.