Question

Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырехугольной пирамиды, равна длине бокового ребра и равна 1 . Найдите объём пирамиды.​

Answer 1

Ответ:

Sполн=Sбок+Sосн

Основание - квадрат

Sосн=d²/2=а²=1²/2=1/2

а²=1/2

а=√(1/2)

Sбок=1/2 Росн* l  , где l - апофема  

Боковая грань пирамиды - треугольник

апофема - высота треугольника, делит боковую грань на 2 равных прямоугольных треугольника.

По теор. Пифагора:

l²=1²-(а/2)²=1 - [√(1/2):2]²=1-1/8=7/8

l=√(7/8)

Росн=4√(1/2)

Sбок=4/2√(1/2)*√(7/8)=(√7)/2

Sполн=(√7)/2+1/2=(√7+1)/2

Ответ: Sполн=(√7+1)/2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Пусть данная правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме квадрата. Диагональ этого квадрата равна длине бокового ребра и составляет 1.

Поскольку пирамида правильная, то её боковые грани являются равнобедренными треугольниками, где одна сторона равна 1 (длина диагонали квадрата) и две другие стороны равны друг другу.

Пусть a - длина бокового ребра пирамиды (и одной из сторон равнобедренного треугольника), h - высота боковой грани пирамиды, S_base - площадь основания пирамиды.

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через его высоту h:

S_triangle = (1/2) * a * h

Площадь основания пирамиды S_base равна квадрату длины диагонали квадрата:

S_base = a^2

Теперь можем выразить высоту боковой грани пирамиды h через длину её бокового ребра a:

h = √(a^2 - (1/2)^2)

Теперь можем выразить объём пирамиды V через площадь основания S_base и высоту боковой грани h:

V = (1/3) * S_base * h V = (1/3) * a^2 * √(a^2 - (1/2)^2)

Таким образом, объём пирамиды в данном случае равен:

V = (1/3) * a^2 * √(a^2 - 1/4)

Так как a = 1 (по условию), подставляем a = 1:

V = (1/3) * 1^2 * √(1^2 - 1/4) V = (1/3) * 1 * √(3/4) V = (1/3) * √3/2 V = √3/6

Итак, объём пирамиды равен √3/6.