Question

Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырехугольной пирамиды равна длине бокового ребра и равна 1. Найдите полную поверхность пирамиды.

Answer 1

Sполн=Sбок+Sосн
Основание - квадрат
Sосн=d²/2=а²=1²/2=1/2
а²=1/2
а=√(1/2)
Sбок=1/2 Росн* l  , где l - апофема  
Боковая грань пирамиды - треугольник
апофема - высота треугольника, делит боковую грань на 2 равных прямоугольных треугольника.
По теор. Пифагора:
l²=1²-(а/2)²=1 - [√(1/2):2]²=1-1/8=7/8
l=√(7/8)
Росн=4√(1/2)
Sбок=4/2√(1/2)*√(7/8)=(√7)/2
Sполн=(√7)/2+1/2=(√7+1)/2

Ответ: Sполн=(√7+1)/2

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу подробно. Пусть \( a \) - длина бокового ребра пирамиды, \( d \) - длина диагонали квадрата, лежащего в основании пирамиды.

Из условия задачи нам известно, что диагональ квадрата равна длине бокового ребра пирамиды и равна 1:

\[ d = a = 1 \]

Теперь мы можем воспользоваться свойствами правильной четырехугольной пирамиды. Правильная пирамида имеет квадратное основание, и все боковые грани равны.

Поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из площади её основания (квадрата) и площади боковых граней.

1. Площадь основания: Площадь квадрата вычисляется по формуле \( S_{\text{осн}} = a^2 \). Так как \( a = 1 \), то \( S_{\text{осн}} = 1^2 = 1 \).

2. Площадь боковых граней: Площадь каждой из боковых граней - это площадь треугольника. Так как пирамида правильная, то эти треугольники равнобедренные. Полусумма длин основания (ребра квадрата) и высота треугольника образуют прямоугольный треугольник, где высота равна длине бокового ребра пирамиды \( a \).

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Подставляем значение \( a = 1 \):

\[ h = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь находим площадь одной боковой грани и умножаем на число боковых граней (в данном случае 4, так как у нас четырехугольная пирамида):

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]

Таким образом, общая площадь боковых граней:

\[ S_{\text{бок, общ}} = 4 \cdot S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \]

3. Полная поверхность пирамиды: Сложим площади основания и боковых граней:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок, общ}} = 1 + \sqrt{3} \]

Таким образом, полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна \( 1 + \sqrt{3} \).